Номер 112, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

112. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график функции:

а) $y = (x - 2)^2 + 3;$

б) $y = -(x - 3)^2 + 5.$

а) $y = (x - 2)^2 + 3$

Для построения графика функции $y = (x - 2)^2 + 3$ мы будем использовать преобразования графика базовой параболы $y = x^2$. Данная функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

В нашем случае коэффициенты преобразования равны: $a = 1$, $h = 2$ и $k = 3$.

1. Так как $a = 1$, что больше нуля, ветви параболы направлены вверх, как и у шаблона $y = x^2$. Величина $a$ по модулю равна 1, поэтому сжатия или растяжения параболы по вертикали нет.

2. Значение $h = 2$ указывает на сдвиг графика параболы $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

3. Значение $k = 3$ указывает на сдвиг графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

Таким образом, чтобы построить искомый график, нужно взять параболу $y = x^2$, вершина которой находится в точке $(0, 0)$, и переместить ее так, чтобы новая вершина оказалась в точке $(h, k) = (2, 3)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, симметричных относительно оси симметрии параболы $x = 2$:
При $x = 2$, $y = (2 - 2)^2 + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$ – вершина.
При $x = 3$, $y = (3 - 2)^2 + 3 = 1^2 + 3 = 4$. Симметричная точка при $x = 1$ также имеет ординату 4, т.е. $(1, 4)$.
При $x = 4$, $y = (4 - 2)^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7$. Симметричная точка при $x = 0$ также имеет ординату 7, т.е. $(0, 7)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ – это парабола, полученная из параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -(x - 3)^2 + 5$

Для построения графика функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ мы также используем преобразования графика параболы $y = x^2$. Функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

В данном случае коэффициенты равны: $a = -1$, $h = 3$ и $k = 5$.

1. Так как $a = -1$, что меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Это соответствует отражению графика $y = x^2$ относительно оси Ox.

2. Значение $h = 3$ указывает на сдвиг графика на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

3. Значение $k = 5$ указывает на сдвиг графика на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (Oy).

Следовательно, для построения искомого графика нужно взять параболу $y = x^2$, отразить ее симметрично относительно оси Ox (получив параболу $y = -x^2$), а затем сдвинуть полученный график на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Новая вершина параболы будет в точке $(h, k) = (3, 5)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, симметричных относительно оси симметрии $x = 3$:
При $x = 3$, $y = -(3 - 3)^2 + 5 = 5$. Точка $(3, 5)$ – вершина.
При $x = 4$, $y = -(4 - 3)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$. Симметричная точка при $x = 2$ также имеет ординату 4, т.е. $(2, 4)$.
При $x = 5$, $y = -(5 - 3)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$. Симметричная точка при $x = 1$ также имеет ординату 1, т.е. $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ – это парабола, полученная из параболы $y = x^2$ путем отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, 5)$, ветви направлены вниз.