Номер 115, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

115. При каких значениях $a$ функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули, необходимо решить уравнение $y = 0$:

$ax^2 + 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$ax^2 = -5$

Дальнейшее решение зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = -5$, что упрощается до $0 = -5$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней, а функция не имеет нулей.

2. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{5}{a}$

Данное уравнение имеет действительные корни для $x$ только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$). Таким образом, должно выполняться неравенство:

$-\frac{5}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5}{a} \le 0$

Дробь будет меньше или равна нулю, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $5$ является положительным числом, знаменатель $a$ должен быть отрицательным. Знаменатель не может быть равен нулю, что соответствует нашему случаю ($a \ne 0$).

Следовательно, $a < 0$.

Таким образом, функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули только при отрицательных значениях параметра $a$.

Ответ: $a < 0$ (или в виде интервала $a \in (-\infty; 0)$).