Номер 120, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

120. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ (м/с) с высоты $h_0$ (м). Высота $h$ (м), на которой окажется тело через $t$ (с), выражается формулой

$h = -\frac{gt^2}{2} + v_0t + h_0 (g \approx 10 \text{ м/с}^2).$

На рисунке 34 показан график зависимости $h$ от $t$ для случая, когда $h_0 = 20, v_0 = 15$. Найдите по графику:

а) сколько времени тело поднималось вверх;

б) сколько времени оно опускалось вниз;

в) какой наибольшей высоты достигло тело;

г) через сколько секунд тело упало на землю.

В задаче представлен график зависимости высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) для тела, брошенного вертикально вверх. Движение описывается квадратичной функцией $h(t) = -\frac{gt^2}{2} + v_0t + h_0$. Согласно условию, начальная высота $h_0 = 20$ м, начальная скорость $v_0 = 15$ м/с, а ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с². Таким образом, уравнение движения, соответствующее графику, имеет вид: $h(t) = -5t^2 + 15t + 20$. Для решения задачи проанализируем предоставленный график.

а) сколько времени тело поднималось вверх

Подъем тела продолжается до тех пор, пока его высота увеличивается. На графике это соответствует восходящей части параболы до ее вершины. Вершина параболы представляет собой точку, в которой тело достигает максимальной высоты и его скорость становится равной нулю, после чего оно начинает падать. Чтобы найти время подъема, необходимо определить координату $t$ вершины параболы. Из графика видно, что пик кривой находится ровно посередине между отметками времени $t=1$ и $t=2$. Следовательно, время достижения максимальной высоты составляет $t = 1,5$ с. Так как движение началось в $t=0$, время подъема равно 1,5 секунды.
Ответ: 1,5 с.

б) сколько времени оно опускалось вниз

Падение тела начинается с момента достижения максимальной высоты и заканчивается в момент соприкосновения с землей (когда высота $h$ становится равной 0). Из пункта (а) мы знаем, что время подъема до максимальной высоты составляет $t_{подъема} = 1,5$ с. Момент падения на землю соответствует точке пересечения графика с горизонтальной осью времени $t$. По графику видно, что $h=0$ при $t=4$ с. Это общее время полета. Время опускания можно вычислить как разность между общим временем полета и временем подъема: $t_{опускания} = t_{общее} - t_{подъема} = 4 \text{ с} - 1,5 \text{ с} = 2,5 \text{ с}$.
Ответ: 2,5 с.

в) какой наибольшей высоты достигло тело

Наибольшая высота, достигнутая телом, — это значение высоты $h$ в вершине параболы. Мы уже установили, что вершина достигается в момент времени $t = 1,5$ с. Теперь найдем соответствующее значение высоты по вертикальной оси. Масштаб оси высот ($h$): 2 большие клетки соответствуют 5 метрам, значит, одна большая клетка равна 2,5 м. Вершина параболы находится на полклетки выше горизонтальной линии, соответствующей $h = 30$ м. Таким образом, максимальная высота равна: $h_{max} = 30 \text{ м} + 0,5 \times 2,5 \text{ м} = 30 \text{ м} + 1,25 \text{ м} = 31,25 \text{ м}$. Для проверки можно подставить $t=1,5$ с в уравнение движения: $h(1,5) = -5(1,5)^2 + 15(1,5) + 20 = -5(2,25) + 22,5 + 20 = -11,25 + 22,5 + 20 = 31,25$ м.
Ответ: 31,25 м.

г) через сколько секунд тело упало на землю

Тело упало на землю в тот момент времени, когда его высота $h$ стала равной нулю. На графике это точка, в которой парабола пересекает ось времени $t$. Из графика видно, что пересечение происходит в точке, где $t = 4$ с. Это и есть общее время полета тела до падения на землю.
Ответ: 4 с.