Номер 125, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

125. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$;

б) $y = x^2 - 4x$;

в) $y = -x^2 + 6x - 9$.

Функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Данная функция имеет вид $y = ax^2 + c$. График такой функции получается из графика $y = ax^2$ сдвигом вдоль оси OY на $c$ единиц. В нашем случае это график параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$, сдвинутый на 5 единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ также можно найти по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $b=0$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$. $y_0 = y(x_0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Вершина параболы: $(0, 5)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 0$ (ось OY).

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Точка пересечения — $(0, 5)$.

С осью OX: $y = 0$, $-\frac{1}{2}x^2 + 5 = 0$. $-\frac{1}{2}x^2 = -5$ $x^2 = 10$ $x_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $x_2 = -\sqrt{10} \approx -3.16$. Точки пересечения — $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=0$:

Для построения графика отмечаем вершину $(0, 5)$, точки пересечения с осями и точки из таблицы, после чего плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — $x=0$. Парабола пересекает ось OX в точках $(\sqrt{10}, 0)$ и $(-\sqrt{10}, 0)$, а ось OY — в точке $(0, 5)$.

Функция $y = x^2 - 4x$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $a=1, b=-4, c=0$. $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = y(x_0) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина параболы: $(2, -4)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью OX: $y = 0$, $x^2 - 4x = 0$. $x(x - 4) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=2$:

Для построения графика отмечаем вершину $(2, -4)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(4, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(1, -3)$ и $(3, -3)$, после чего плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=2$. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Функция $y = -x^2 + 6x - 9$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Для этого преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OX: $y = 0$, $-(x - 3)^2 = 0$. $x - 3 = 0$, $x = 3$. Точка пересечения одна — $(3, 0)$, что совпадает с вершиной. Это означает, что парабола касается оси OX в своей вершине.

С осью OY: $x = 0$, $y = -(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения — $(0, -9)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=3$:

Для построения графика отмечаем вершину $(3, 0)$, точку пересечения с осью OY $(0, -9)$ и симметричную ей точку $(6, -9)$, а также другие точки из таблицы. Плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — $x=3$. Парабола касается оси OX в точке $(3, 0)$ и пересекает ось OY в точке $(0, -9)$.