Номер 132, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

132. Сократите дробь $ \frac{(1-3a)^2}{3a^2 + 5a - 2} $.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно сократить.

Исходная дробь:

$$ \frac{(1 - 3a)^2}{3a^2 + 5a - 2} $$

1. Работа с числителем

Числитель $(1 - 3a)^2$ уже представлен в виде множителей, так как это квадрат выражения $(1 - 3a)$. Для удобства дальнейшего сокращения воспользуемся свойством $(x-y)^2 = (y-x)^2$ и перепишем числитель в виде:

$$ (1 - 3a)^2 = (3a - 1)^2 = (3a - 1)(3a - 1) $$

2. Разложение знаменателя на множители

Знаменатель $3a^2 + 5a - 2$ — это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни квадратного уравнения $3a^2 + 5a - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$$ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$$ a_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $$

$$ a_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$$ 3a^2 + 5a - 2 = 3(a - (-2))(a - \frac{1}{3}) = 3(a + 2)(a - \frac{1}{3}) $$

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 3 на двучлен $(a - \frac{1}{3})$:

$$ 3(a + 2)(a - \frac{1}{3}) = (a + 2)(3 \cdot a - 3 \cdot \frac{1}{3}) = (a + 2)(3a - 1) $$

3. Сокращение дроби

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{(3a - 1)^2}{(a + 2)(3a - 1)} $$

Сократим общий множитель $(3a - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $3a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{3}$):

$$ \frac{(3a - 1)\require{cancel}\cancel{(3a - 1)}}{(a + 2)\cancel{(3a - 1)}} = \frac{3a - 1}{a + 2} $$

Ответ: $ \frac{3a - 1}{a + 2} $