Номер 127, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

127. Постройте график функции:

а) $y = (x - 2)(x + 4);$

б) $y = -x(x + 5).$

а) $y = (x - 2)(x + 4)$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.
Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки: $y = (x - 2)(x + 4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Для этого приравняем $y$ к нулю: $(x - 2)(x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Нахождение координат вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсциссу вершины можно найти как среднее арифметическое корней: $x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Либо по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Для нахождения ординаты вершины подставим значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = (-1 - 2)(-1 + 4) = (-3)(3) = -9$.
Координаты вершины параболы: $(-1, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.

4. Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy).
Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции: $y = (0 - 2)(0 + 4) = (-2)(4) = -8$.
Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -8)$.

5. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(-4, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -8)$ и, учитывая, что ветви направлены вверх, плавно соединим точки, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(2, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -8)$.

б) $y = -x(x + 5)$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.
Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x(x + 5) = -x^2 - 5x$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Приравняем $y$ к нулю: $-x(x + 5) = 0$.
$x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Нахождение координат вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{0 + (-5)}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Либо по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2.5$.
Ордината вершины: $y_в = -(-2.5)(-2.5 + 5) = 2.5 \cdot 2.5 = 6.25$.
Координаты вершины параболы: $(-2.5, 6.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -2.5$.

4. Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy).
Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = -0(0 + 5) = 0$.
Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$, которая также является точкой пересечения с осью Ox.

5. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-2.5, 6.25)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-5, 0)$ и, учитывая, что ветви направлены вниз, плавно соединим точки, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2.5, 6.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -2.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ также является точкой пересечения с осью Oy.