Номер 121, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

121. Квадратичная функция задана формулой:

Рис. 34

а) $y = x^2 - 4x + 7;$

б) $y = -2x^2 - 5x - 2.$

Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.

a) $y = x^2 - 4x + 7$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны: $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$.
Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Нахождение координат вершины параболы.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$

Вычисляем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, 3)$.

2. Ось симметрии и схематический график.
Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = 2$.
Для построения схематического графика наметим на координатной плоскости вершину $(2, 3)$ и ось симметрии $x=2$.
Найдем точку пересечения графика с осью $Oy$, подставив $x=0$ в уравнение:
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 7)$.
Используя ось симметрии, найдем симметричную точку: $(4, 7)$.
Схематически график представляет собой параболу, проходящую через точки $(2, 3)$, $(0, 7)$ и $(4, 7)$, с ветвями, направленными вверх.

Ответ: Координаты вершины: $(2, 3)$, ось симметрии: $x = 2$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = -2x^2 - 5x - 2$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны: $a = -2$, $b = -5$, $c = -2$.
Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Нахождение координат вершины параболы.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$

Вычисляем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -\frac{5}{4}$ в уравнение функции:
$y_0 = -2(-\frac{5}{4})^2 - 5(-\frac{5}{4}) - 2 = -2(\frac{25}{16}) + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8} = 1.125$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ или $(-1.25, 1.125)$.

2. Ось симметрии и схематический график.
Осью симметрии параболы является вертикальная прямая $x = x_0$, то есть $x = -\frac{5}{4}$.
Для построения схематического графика наметим на координатной плоскости вершину $( -1.25, 1.125)$ и ось симметрии $x = -1.25$.
Найдем точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -2$. Точка $(0, -2)$.
Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-2x^2 - 5x - 2 = 0$. Умножим на $-1$: $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -0.5$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.
Схематически график представляет собой параболу, проходящую через вершину $( -1.25, 1.125)$ и точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(-0.5, 0)$, $(0, -2)$, с ветвями, направленными вниз.

Ответ: Координаты вершины: $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$, ось симметрии: $x = -\frac{5}{4}$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ и ветвями, направленными вниз.