Номер 117, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

117.Решите уравнение:

а) $0,6a - (a + 0,3)^2 = 0,27;$

б) $\frac{y^2 - 2y}{4} = 0,5y(6 - 2y).$

а)

Дано уравнение: $0,6a - (a + 0,3)^2 = 0,27$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a + 0,3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 0,3 + 0,3^2 = a^2 + 0,6a + 0,09$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:
$0,6a - (a^2 + 0,6a + 0,09) = 0,27$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:
$0,6a - a^2 - 0,6a - 0,09 = 0,27$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $0,6a$ и $-0,6a$ взаимно уничтожаются:
$-a^2 - 0,09 = 0,27$.

Перенесем числовое слагаемое $-0,09$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$-a^2 = 0,27 + 0,09$
$-a^2 = 0,36$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:
$a^2 = -0,36$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 2y}{4} = 0,5y(6 - 2y)$.

Сначала упростим правую часть уравнения, раскрыв скобки:
$0,5y(6 - 2y) = 0,5y \cdot 6 - 0,5y \cdot 2y = 3y - y^2$.

Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{y^2 - 2y}{4} = 3y - y^2$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:
$4 \cdot \frac{y^2 - 2y}{4} = 4 \cdot (3y - y^2)$
$y^2 - 2y = 12y - 4y^2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:
$y^2 - 2y - 12y + 4y^2 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + 4y^2) + (-2y - 12y) = 0$
$5y^2 - 14y = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(5y - 14) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:
1) $y_1 = 0$
2) $5y - 14 = 0 \Rightarrow 5y = 14 \Rightarrow y_2 = \frac{14}{5} = 2,8$.

Уравнение имеет два корня: 0 и 2,8.

Ответ: $0; 2,8$.