Номер 131, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

131. (Задача-исследование.) По графику функции $y = ax^2 + bx + c$ (рис. 36) определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов $a$ и $c$. Укажите эти знаки.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента $b$. Укажите этот знак.

а)

б)

Рис. 36

График а)

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

Знак старшего коэффициента a в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ определяет направление ветвей параболы. На рисунке а) ветви параболы направлены вниз, из чего следует, что коэффициент a отрицательный: $a < 0$.
Свободный член c соответствует значению функции при $x=0$, то есть это ордината точки пересечения графика с осью Oy. На рисунке а) парабола пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой (ниже начала координат), следовательно, коэффициент c также отрицательный: $c < 0$.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

Знак коэффициента b можно определить, используя абсциссу вершины параболы $x_v$, которая вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. На рисунке а) вершина параболы расположена в правой полуплоскости (справа от оси Oy), это означает, что её абсцисса $x_v$ положительна: $x_v > 0$. Мы уже знаем, что $a < 0$. Подставим известные знаки в формулу для абсциссы вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$ Поскольку $a < 0$, знаменатель $2a$ является отрицательным числом. Для того чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, числитель $-b$ должен быть отрицательным (так как частное двух отрицательных чисел положительно). Из неравенства $-b < 0$ следует, что $b > 0$.

Ответ: для графика а) знаки коэффициентов следующие: $a < 0$, $b > 0$, $c < 0$.

График б)

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

Знак коэффициента a определяется по направлению ветвей параболы. На рисунке б) ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент a положительный: $a > 0$.
Коэффициент c — это ордината точки пересечения параболы с осью Oy. На рисунке б) парабола пересекает ось Oy в точке с положительной ординатой (выше начала координат), следовательно, коэффициент c также положительный: $c > 0$.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

Знак коэффициента b, как и в предыдущем случае, определим по абсциссе вершины параболы $x_v = -\frac{b}{2a}$. На рисунке б) вершина параболы также находится в правой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_v$ положительна: $x_v > 0$. Мы уже определили, что $a > 0$. Подставим знаки в формулу: $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$ Поскольку $a > 0$, знаменатель $2a$ является положительным числом. Для того чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, её числитель $-b$ также должен быть положительным. Из неравенства $-b > 0$ следует, что $b < 0$.

Ответ: для графика б) знаки коэффициентов следующие: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$.