Страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

109. В каких координатных четвертях расположен график функции:

a) $y = 10x^2 + 5;$

б) $y = -7x^2 - 3;$

в) $y = -6x^2 + 8;$

г) $y = (x - 4)^2;$

д) $y = -(x - 8)^2;$

е) $y = -3(x + 5)^2?$

а) Для функции $y = 10x^2 + 5$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=10$ при $x^2$ положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; 5)$. Поскольку вершина лежит на положительной полуоси OY, а ветви направлены вверх, весь график находится выше оси OX. Минимальное значение функции $y_{min} = 5$. Таким образом, при любых значениях $x$ (и положительных, и отрицательных) значение $y$ всегда будет положительным. Следовательно, график функции расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

б) Для функции $y = -7x^2 - 3$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=-7$ при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; -3)$. Поскольку вершина лежит на отрицательной полуоси OY, а ветви направлены вниз, весь график находится ниже оси OX. Максимальное значение функции $y_{max} = -3$. Таким образом, при любых значениях $x$ (и положительных, и отрицательных) значение $y$ всегда будет отрицательным. Следовательно, график функции расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

в) Для функции $y = -6x^2 + 8$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=-6$ при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; 8)$. Поскольку вершина лежит на положительной полуоси OY, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX. Найдем точки пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю: $0 = -6x^2 + 8 \implies 6x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Так как вершина находится в верхней полуплоскости, а ветви уходят в нижнюю, пересекая ось OX в двух точках, график проходит через все четыре координатные четверти. Часть графика между корнями лежит в I и II четвертях, а части за пределами корней — в III и IV четвертях.
Ответ: в I, II, III и IV четвертях.

г) Для функции $y = (x - 4)^2$ график представляет собой параболу, смещенную из начала координат. Уравнение имеет вид $y = a(x-h)^2+k$, где $a=1$, $h=4$, $k=0$. Коэффициент $a=1 > 0$, значит ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(4; 0)$ на положительной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вверх, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Часть графика находится в I четверти (где $x>0, y>0$). Так как ось симметрии $x=4$, парабола также проходит через точки с отрицательным $x$. Например, при $x=-1$, $y=(-1-4)^2=25$. Точка $(-1; 25)$ лежит во II четверти. Следовательно, график расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

д) Для функции $y = -(x - 8)^2$ график представляет собой параболу. Уравнение имеет вид $y = a(x-h)^2+k$, где $a=-1$, $h=8$, $k=0$. Коэффициент $a=-1 < 0$, значит ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(8; 0)$ на положительной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Часть графика находится в IV четверти (где $x>0, y<0$). Так как ось симметрии $x=8$, парабола также проходит через точки с отрицательным $x$. Например, при $x=-1$, $y=-(-1-8)^2=-81$. Точка $(-1; -81)$ лежит в III четверти. Следовательно, график расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

е) Для функции $y = -3(x + 5)^2$ график представляет собой параболу. Уравнение можно записать в виде $y = -3(x - (-5))^2 + 0$. Здесь $a=-3$, $h=-5$, $k=0$. Коэффициент $a=-3 < 0$, значит ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-5; 0)$ на отрицательной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Часть графика находится в III четверти (где $x<0, y<0$). Так как ось симметрии $x=-5$, парабола также проходит через точки с положительным $x$. Например, при $x=1$, $y=-3(1+5)^2=-108$. Точка $(1; -108)$ лежит в IV четверти. Следовательно, график расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

110. Изобразите схематически график функции:

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1;$

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1;$

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5;$

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2.$

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1. Определение параметров:
Сравнивая с общей формой, имеем: $a = \frac{1}{2}$, $h = 2$, $k = 1$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(2, 1)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем стандартная парабола $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = h$, то есть $x = 2$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Оx и на 1 единицу вверх по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Для нахождения точки пересечения с осью Оy, подставим $x=0$ в уравнение: $y = \frac{1}{2}(0 - 2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 3)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$.

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$. Заметим, что $x+3 = x - (-3)$.

1. Определение параметров:
$a = \frac{1}{2}$, $h = -3$, $k = -1$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(-3, -1)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = -3$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Оx и на 1 единицу вниз по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = \frac{1}{2}(0 + 3)^2 - 1 = \frac{1}{2}(3)^2 - 1 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 = 4.5 - 1 = 3.5$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 3.5)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-3, -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, 3.5)$.

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение параметров:
$a = -4$, $h = 3$, $k = 5$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(3, 5)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = 4 > 1$, парабола будет уже, чем стандартная парабола $y = x^2$ (растянута по вертикали).

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 3$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = -4x^2$ путем сдвига на 3 единицы вправо по оси Оx и на 5 единиц вверх по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = -4(0 - 3)^2 + 5 = -4(-3)^2 + 5 = -4 \cdot 9 + 5 = -36 + 5 = -31$. Точка пересечения с осью OY — $(0, -31)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(3, 5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, -31)$.

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$. Заметим, что $x+2 = x - (-2)$.

1. Определение параметров:
$a = -4$, $h = -2$, $k = -2$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(-2, -2)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = 4 > 1$, парабола будет уже, чем $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = -2$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = -4x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси Оx и на 2 единицы вниз по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = -4(0 + 2)^2 - 2 = -4(2)^2 - 2 = -4 \cdot 4 - 2 = -16 - 2 = -18$. Точка пересечения с осью OY — $(0, -18)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-2, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, -18)$.

111. Изобразите схематически график функции:

а) $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$;

б) $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3.$

а) Для построения схематического графика функции $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$ определим его основные характеристики. Данная функция является квадратичной, и её график — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы.
Сравнивая с заданным уравнением, находим параметры:
1. Коэффициент $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (2, -3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, её уравнение $x = h$, то есть $x = 2$.

Для более точного построения найдем точки пересечения с осями координат:
• Пересечение с осью OY (y-перехват): для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции.$y = \frac{1}{4}(0 - 2)^2 - 3 = \frac{1}{4}(-2)^2 - 3 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 3 = 1 - 3 = -2$.Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0, -2)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): для этого подставим $y = 0$ в уравнение.$0 = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$$3 = \frac{1}{4}(x - 2)^2$$12 = (x - 2)^2$$x - 2 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$x = 2 \pm 2\sqrt{3}$.Точки пересечения с осью OX: $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

Схематический график строится следующим образом: отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -3)$, проводим ось симметрии $x=2$, отмечаем точку пересечения с осью OY $(0, -2)$ и симметричную ей точку $(4, -2)$. Через эти точки проводим параболу с ветвями, направленными вверх.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$ и ось абсцисс в точках $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

б) Для построения схематического графика функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$ проанализируем её уравнение. Это также квадратичная функция (парабола) в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Уравнение можно переписать как $y = -\frac{1}{4}(x - (-2))^2 + 3$.
Определим параметры:
1. Коэффициент $a = -\frac{1}{4}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (-2, 3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = h$, то есть $x = -2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
• Пересечение с осью OY (y-перехват): подставим $x = 0$ в уравнение.$y = -\frac{1}{4}(0 + 2)^2 + 3 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 3 = -1 + 3 = 2$.Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): подставим $y = 0$.$0 = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$$\frac{1}{4}(x + 2)^2 = 3$$(x + 2)^2 = 12$$x + 2 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$x = -2 \pm 2\sqrt{3}$.Точки пересечения с осью OX: $(-2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

Схематический график строится так: отмечаем вершину $(-2, 3)$, проводим ось симметрии $x=-2$, отмечаем точку пересечения с OY $(0, 2)$ и симметричную ей точку $(-4, 2)$. Через эти точки проводим параболу с ветвями, направленными вниз.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вниз. График пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$ и ось абсцисс в точках $(-2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

112. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график функции:

а) $y = (x - 2)^2 + 3;$

б) $y = -(x - 3)^2 + 5.$

а) $y = (x - 2)^2 + 3$

Для построения графика функции $y = (x - 2)^2 + 3$ мы будем использовать преобразования графика базовой параболы $y = x^2$. Данная функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

В нашем случае коэффициенты преобразования равны: $a = 1$, $h = 2$ и $k = 3$.

1. Так как $a = 1$, что больше нуля, ветви параболы направлены вверх, как и у шаблона $y = x^2$. Величина $a$ по модулю равна 1, поэтому сжатия или растяжения параболы по вертикали нет.

2. Значение $h = 2$ указывает на сдвиг графика параболы $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

3. Значение $k = 3$ указывает на сдвиг графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

Таким образом, чтобы построить искомый график, нужно взять параболу $y = x^2$, вершина которой находится в точке $(0, 0)$, и переместить ее так, чтобы новая вершина оказалась в точке $(h, k) = (2, 3)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, симметричных относительно оси симметрии параболы $x = 2$:
При $x = 2$, $y = (2 - 2)^2 + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$ – вершина.
При $x = 3$, $y = (3 - 2)^2 + 3 = 1^2 + 3 = 4$. Симметричная точка при $x = 1$ также имеет ординату 4, т.е. $(1, 4)$.
При $x = 4$, $y = (4 - 2)^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7$. Симметричная точка при $x = 0$ также имеет ординату 7, т.е. $(0, 7)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ – это парабола, полученная из параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$, ветви направлены вверх.

б) $y = -(x - 3)^2 + 5$

Для построения графика функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ мы также используем преобразования графика параболы $y = x^2$. Функция представлена в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

В данном случае коэффициенты равны: $a = -1$, $h = 3$ и $k = 5$.

1. Так как $a = -1$, что меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Это соответствует отражению графика $y = x^2$ относительно оси Ox.

2. Значение $h = 3$ указывает на сдвиг графика на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

3. Значение $k = 5$ указывает на сдвиг графика на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (Oy).

Следовательно, для построения искомого графика нужно взять параболу $y = x^2$, отразить ее симметрично относительно оси Ox (получив параболу $y = -x^2$), а затем сдвинуть полученный график на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Новая вершина параболы будет в точке $(h, k) = (3, 5)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, симметричных относительно оси симметрии $x = 3$:
При $x = 3$, $y = -(3 - 3)^2 + 5 = 5$. Точка $(3, 5)$ – вершина.
При $x = 4$, $y = -(4 - 3)^2 + 5 = -1 + 5 = 4$. Симметричная точка при $x = 2$ также имеет ординату 4, т.е. $(2, 4)$.
При $x = 5$, $y = -(5 - 3)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$. Симметричная точка при $x = 1$ также имеет ординату 1, т.е. $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ – это парабола, полученная из параболы $y = x^2$ путем отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 3 единицы вправо и на 5 единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, 5)$, ветви направлены вниз.

113. С помощью шаблона параболы $y = x^2$ постройте график функции:

a) $y = (x + 3)^2 - 4;$

б) $y = -(x + 4)^2 - 2.$

Для построения графиков данных функций с помощью шаблона параболы $y = x^2$ необходимо выполнить последовательные преобразования (сдвиги и отражение) этого шаблона.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью двух последовательных сдвигов:

1. Сначала строим график функции $y = (x + 3)^2$. Это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси абсцисс (OX) на 3 единицы влево. Вершина этой параболы будет в точке $(-3, 0)$.

2. Затем, чтобы получить график функции $y = (x + 3)^2 - 4$, нужно сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y = (x + 3)^2$ вдоль оси ординат (OY) на 4 единицы вниз. Вершина параболы переместится в точку $(-3, -4)$.

Таким образом, итоговый график — это парабола, идентичная параболе $y = x^2$, но ее вершина находится в точке $(-3, -4)$, а ветви направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2 - 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на 3 единицы влево по оси OX и на 4 единицы вниз по оси OY.

б) $y = -(x + 4)^2 - 2$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью трех последовательных преобразований:

1. Сначала рассмотрим функцию $y = -x^2$. Ее график получается из графика $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX). Ветви этой параболы будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.

2. Далее, чтобы получить график функции $y = -(x + 4)^2$, нужно сдвинуть график $y = -x^2$ вдоль оси абсцисс (OX) на 4 единицы влево. Вершина параболы переместится в точку $(-4, 0)$.

3. Наконец, чтобы получить итоговый график $y = -(x + 4)^2 - 2$, нужно сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y = -(x + 4)^2$ вдоль оси ординат (OY) на 2 единицы вниз. Вершина параболы переместится в точку $(-4, -2)$.

Таким образом, итоговый график — это парабола, вершина которой находится в точке $(-4, -2)$, а ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x + 4)^2 - 2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем ее отражения относительно оси OX, сдвига на 4 единицы влево по оси OX и на 2 единицы вниз по оси OY.

114. Найдите нули функции (если они существуют):

а) $y = 12x^2 - 3;$

б) $y = 6x^2 + 4;$

в) $y = -x^2 - 4.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y = 0$.

а) $y = 12x^2 - 3$

Приравняем функцию к нулю:

$12x^2 - 3 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$12x^2 = 3$

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 = \frac{3}{12}$

Сократим полученную дробь:

$x^2 = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

Таким образом, функция имеет два нуля:

$x_1 = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$

Ответ: $x = -0.5, x = 0.5$.

б) $y = 6x^2 + 4$

Приравняем функцию к нулю:

$6x^2 + 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$6x^2 = -4$

Выразим $x^2$:

$x^2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Так как в правой части уравнения находится отрицательное число, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нулей функции не существует.

в) $y = -x^2 - 4$

Приравняем функцию к нулю:

$-x^2 - 4 = 0$

Перенесем член с переменной в правую часть уравнения:

$-4 = x^2$

Уравнение $x^2 = -4$ не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, данная функция не имеет нулей.

Ответ: нулей функции не существует.

115. При каких значениях $a$ функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули, необходимо решить уравнение $y = 0$:

$ax^2 + 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$ax^2 = -5$

Дальнейшее решение зависит от значения параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = -5$, что упрощается до $0 = -5$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней, а функция не имеет нулей.

2. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{5}{a}$

Данное уравнение имеет действительные корни для $x$ только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$). Таким образом, должно выполняться неравенство:

$-\frac{5}{a} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5}{a} \le 0$

Дробь будет меньше или равна нулю, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $5$ является положительным числом, знаменатель $a$ должен быть отрицательным. Знаменатель не может быть равен нулю, что соответствует нашему случаю ($a \ne 0$).

Следовательно, $a < 0$.

Таким образом, функция $y = ax^2 + 5$ имеет нули только при отрицательных значениях параметра $a$.

Ответ: $a < 0$ (или в виде интервала $a \in (-\infty; 0)$).

116. На рисунке 30 изображены графики функций:

а) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$;

б) $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$;

в) $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$;

г) $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 30

Для сопоставления графиков с формулами проанализируем каждую функцию. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ таков: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$. Формулу можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - (-4))^2 + 0$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(-4, 0)$. На рисунке этому описанию соответствует синий график, расположенный слева.

Ответ: синий график с вершиной в точке $(-4, 0)$.

б) $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$. Вершина этой параболы находится в точке с координатами $(4, -1)$. На рисунке этому описанию соответствует синий график, расположенный справа.

Ответ: синий график с вершиной в точке $(4, -1)$.

в) $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$. Формулу можно представить в виде $y = \frac{1}{3}(x - 0)^2 + 4$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0, 4)$. На рисунке этому описанию соответствует черный график, расположенный в верхней части плоскости.

Ответ: черный график с вершиной в точке $(0, 4)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$. Формулу можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 - 2$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0, -2)$. На рисунке этому описанию соответствует черный график, расположенный в нижней части плоскости.

Ответ: черный график с вершиной в точке $(0, -2)$.