Номер 105, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

105. Решите уравнение

$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$

и отметьте его корни на координатной прямой.

Решите уравнение
Дано уравнение: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$.
Для решения уравнения преобразуем обе jego части.

Левую часть можно упростить, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = ((x + 3) - (x - 3)) \cdot ((x + 3) + (x - 3)) = (x + 3 - x + 3) \cdot (x + 3 + x - 3) = 6 \cdot 2x = 12x$.

Правую часть упростим, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(x - 2)^2 + (x + 2)^2 = (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:
$12x = 2x^2 + 8$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - 12x + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.
В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=4$.
Найдем дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Вычисляем корни:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{5}, x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Отметьте его корни на координатной прямой
Нам нужно отметить на координатной прямой два корня: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.
Для этого найдем их приблизительные значения, зная, что $\sqrt{5} \approx 2.24$.
$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$
$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$
Нанесем эти значения на координатную прямую.

Ответ: Корни $3 - \sqrt{5}$ и $3 + \sqrt{5}$ отмечены на координатной прямой красными точками.