Номер 101, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

101. Площадь круга $S$ ($\text{см}^2$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ (см) — радиус круга. Постройте график функции $S = \pi r^2$ и найдите по графику:

a) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см;

б) радиус круга, площадь которого равна $1,8 \text{ см}^2$; $2,5 \text{ см}^2$; $6,5 \text{ см}^2$.

Для решения задачи построим график функции зависимости площади круга $S$ от его радиуса $r$, заданной формулой $S = \pi r^2$. Примем значение $\pi \approx 3,14$.

График этой функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат. Ось абсцисс будет соответствовать радиусу $r$ (в см), а ось ординат — площади $S$ (в см²). Поскольку радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), мы рассматриваем только правую часть графика.

Составим таблицу значений для построения графика:

Соединив эти точки плавной линией на координатной плоскости, мы получим искомый график. Теперь, используя этот график, найдем требуемые значения. Следует помнить, что результаты, полученные с помощью графика, являются приблизительными.

а) Чтобы найти площадь круга по радиусу, необходимо найти заданное значение радиуса $r$ на горизонтальной оси, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем от точки пересечения провести перпендикуляр к вертикальной оси и считать значение площади $S$.

- Если радиус $r = 1,3$ см, находим на оси $r$ значение 1,3, движемся вверх до графика и затем влево к оси $S$. Получаем значение площади примерно $S \approx 5,3$ см².

- Если радиус $r = 0,8$ см, аналогично находим на графике, что площадь $S \approx 2,0$ см².

- Если радиус $r = 2,1$ см, находим на графике, что площадь $S \approx 13,9$ см².

Ответ: при $r = 1,3$ см, $S \approx 5,3$ см²; при $r = 0,8$ см, $S \approx 2,0$ см²; при $r = 2,1$ см, $S \approx 13,9$ см².

б) Чтобы найти радиус круга по площади, нужно выполнить обратную операцию. Находим заданное значение площади $S$ на вертикальной оси, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось и считываем значение радиуса $r$.

- Если площадь $S = 1,8$ см², находим на оси $S$ значение 1,8, движемся вправо до графика и затем вниз к оси $r$. Получаем значение радиуса примерно $r \approx 0,75$ см.

- Если площадь $S = 2,5$ см², аналогично находим на графике, что радиус $r \approx 0,9$ см.

- Если площадь $S = 6,5$ см², находим на графике, что радиус $r \approx 1,45$ см.

Ответ: при $S = 1,8$ см², $r \approx 0,75$ см; при $S = 2,5$ см², $r \approx 0,9$ см; при $S = 6,5$ см², $r \approx 1,45$ см.