Номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Покажите на примере выражения $3x^2 - 12x + 32$, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена — это преобразование выражения вида $ax^2 + bx + c$ к виду $a(x+p)^2 + q$. Покажем этот процесс на примере выражения $3x^2 - 12x + 32$.

1. Вынесем за скобки коэффициент при $x^2$ (в данном случае это 3) из первых двух слагаемых:

$3x^2 - 12x + 32 = 3(x^2 - 4x) + 32$

2. Теперь нам нужно дополнить выражение в скобках, $x^2 - 4x$, до полного квадрата. Мы используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем выражении $x^2 - 4x$, первый член $a^2$ — это $x^2$, значит $a=x$. Второй член $-2ab$ — это $-4x$. Отсюда мы можем найти $b$:

$-2xb = -4x$

$b = \frac{-4x}{-2x} = 2$

3. Чтобы получить полный квадрат $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$, нам необходимо добавить $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы одновременно добавим и вычтем 4 внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 32$

4. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить формулу квадрата двучлена:

$3((x^2 - 4x + 4) - 4) + 32$

5. Заменим выражение в скобках на квадрат двучлена:

$3((x - 2)^2 - 4) + 32$

6. Раскроем внешние скобки, умножив 3 на каждый член внутри них:

$3(x - 2)^2 - 3 \cdot 4 + 32$

$3(x - 2)^2 - 12 + 32$

7. Выполним сложение оставшихся числовых членов:

$3(x - 2)^2 + 20$

Таким образом, мы преобразовали исходный квадратный трёхчлен, выделив в нём квадрат двучлена.

Ответ: $3(x - 2)^2 + 20$