Номер 86, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

86. Верно ли утверждение: функции $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ имеют одинаковые графики?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить две функции: $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$. Две функции считаются тождественными, и, следовательно, имеют одинаковые графики, только если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны.

1. Анализ функции $y = x - 4$

Это линейная функция. Ее область определения — все действительные числа, что записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$. Графиком этой функции является сплошная прямая линия.

2. Анализ функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$

Это рациональная функция. Ее область определения (ОДЗ) исключает значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Таким образом, область определения этой функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Так как области определения двух функций не совпадают ($x=2$ входит в область определения первой функции, но не входит в область определения второй), их графики не могут быть одинаковыми. Утверждение неверно.

Для более полного понимания, упростим выражение второй функции. Разложим на множители числитель $x^2 - 6x + 8$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Тогда числитель можно представить в виде $(x-2)(x-4)$.

Подставим это в функцию:

$y = \frac{(x-2)(x-4)}{x-2}$

При условии $x \neq 2$ (которое выполняется для области определения этой функции), мы можем сократить дробь на $(x-2)$:

$y = x - 4$

Это показывает, что для всех допустимых значений $x$ вторая функция эквивалентна первой. Однако, из-за различия в областях определения, график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ представляет собой прямую $y = x-4$ с "выколотой" точкой в месте, где $x=2$. Найдем координаты этой точки, подставив $x=2$ в упрощенное выражение $y = x-4$:

$y = 2 - 4 = -2$

Таким образом, график второй функции — это прямая $y=x-4$ за исключением точки $(2; -2)$.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Графики функций не являются одинаковыми, так как их области определения различны. График функции $y = x-4$ — это сплошная прямая, в то время как график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ — это та же прямая, но с выколотой точкой $(2; -2)$.