Номер 87, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

87. Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11;$

б) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3};$

в) $x - 3 = \frac{1 - x^2}{3};$

г) $\frac{2 - x^2}{7} = \frac{x}{2}.$

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$. Чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на 2: $2 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 2 \cdot 11x = 2 \cdot 11$ $x^2 - 1 - 22x = 22$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$ $x^2 - 22x - 23 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -23, а их сумма равна 22. Подбором находим корни: $x_1 = 23$ и $x_2 = -1$. Или решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 = 24^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm 24}{2}$ $x_1 = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$ $x_2 = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 23.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$. Это пропорция, поэтому мы можем использовать правило перекрестного умножения: $3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$ Раскроем скобки: $3x^2 + 3x = 16x - 14$ Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$ $3x^2 - 13x + 14 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 1}{6}$ $x_1 = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: 2; $2\frac{1}{3}$.

в) Дано уравнение $x - 3 = \frac{1 - x^2}{3}$. Умножим обе части уравнения на 3: $3(x - 3) = 1 - x^2$ $3x - 9 = 1 - x^2$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 3x - 9 - 1 = 0$ $x^2 + 3x - 10 = 0$ Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно -10, а их сумма равна -3. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Или решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$ $x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: -5; 2.

г) Дано уравнение $\frac{2 - x^2}{7} = \frac{x}{2}$. Используем правило перекрестного умножения для пропорции: $2(2 - x^2) = 7x$ $4 - 2x^2 = 7x$ Перенесем все члены в одну часть (например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным) и запишем в стандартном виде: $2x^2 + 7x - 4 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$ $x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Ответ: -4; $\frac{1}{2}$.