Номер 80, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

80. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:

а) $-3y^2 + 3y + 11;$

б) $4b^2 - 9b + 7;$

в) $x^2 - 7x + 11;$

г) $3y^2 - 12y + 12?$

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно представить в виде произведения многочленов первой степени тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$). Если $D < 0$, то такое представление невозможно (в поле действительных чисел). Проверим каждый случай.

а) $-3y^2 + 3y + 11$

Коэффициенты данного трёхчлена: $a = -3$, $b = 3$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 9 + 132 = 141$.

Так как $D = 141 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: да, можно.

б) $4b^2 - 9b + 7$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.

Так как $D = -31 < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: нет, нельзя.

в) $x^2 - 7x + 11$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.

Так как $D = 5 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, и его можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: да, можно.

г) $3y^2 - 12y + 12$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -12$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (кратности 2). Это означает, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени. В данном случае он сворачивается в полный квадрат: $3(y-2)^2$, что является произведением $3(y-2)(y-2)$.

Ответ: да, можно.