Номер 82, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

82. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида $n$, $2n$, $3n$ (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $ax^2 + bx + c$. По условию, его коэффициенты $a, b, c$ являются перестановкой натуральных чисел $n, 2n, 3n$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$. Для того чтобы квадратный трёхчлен имел действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $b^2 - 4ac \ge 0$.

Проверим все возможные варианты расстановки коэффициентов, чтобы доказать существование такого трёхчлена.

1. Пусть коэффициент при $x$ равен $b=n$, а коэффициенты $a$ и $c$ равны $2n$ и $3n$ (в произвольном порядке). Тогда дискриминант $D = n^2 - 4(2n)(3n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n^2 > 0$, следовательно, $D < 0$. В этом случае у трёхчлена нет действительных корней.

2. Пусть $b=2n$, а $a$ и $c$ равны $n$ и $3n$. Тогда $D = (2n)^2 - 4(n)(3n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, $D < 0$. В этом случае действительных корней также нет.

3. Пусть $b=3n$, а $a$ и $c$ равны $n$ и $2n$. Тогда $D = (3n)^2 - 4(n)(2n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, $n^2 > 0$, дискриминант положителен. Следовательно, в этом случае трёхчлен имеет два различных действительных корня.

Таким образом, существование такого трёхчлена доказано. Его коэффициент при $x$ должен быть равен $3n$, а старший коэффициент и свободный член — $n$ и $2n$.

Выберем один из возможных вариантов, например, трёхчлен $nx^2 + 3nx + 2n$. Для разложения его на множители найдём корни уравнения $nx^2 + 3nx + 2n = 0$. Так как $n \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $n$: $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета (или через формулу корней) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае старший коэффициент $a=n$, а корни $x_1=-1$ и $x_2=-2$. Подставляя значения, получаем: $n(x - (-1))(x - (-2)) = n(x+1)(x+2)$.

Ответ: Существование доказано. Примером такого трёхчлена является $nx^2 + 3nx + 2n$, разложение которого на множители имеет вид $n(x+1)(x+2)$.