Номер 77, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

77. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $2x^2 - 2x + \frac{1}{2};$

б) $-9x^2 + 12x - 4;$

в) $16a^2 + 24a + 9;$

г) $0,25m^2 - 2m + 4.$

а) $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$

Для разложения на множители данного квадратного трёхчлена вынесем за скобки коэффициент 2 при старшем члене:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4})$

Выражение в скобках, $x^2 - x + \frac{1}{4}$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращённого умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{2}$. Проверим, соответствует ли средний член формуле: $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$.

Таким образом, $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$.

Подставим полученное выражение обратно:

$2(x - \frac{1}{2})^2$

Ответ: $2(x - \frac{1}{2})^2$

б) $-9x^2 + 12x - 4$

Вынесем за скобки знак минус (-1), чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-(9x^2 - 12x + 4)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $9x^2 - 12x + 4$. Оно является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 9x^2$, что означает $a=3x$. Также $b^2=4$, что означает $b=2$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$.

Так как все условия формулы выполняются, получаем: $9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2$.

Возвращая вынесенный минус, получаем итоговое разложение:

$-(3x - 2)^2$

Ответ: $-(3x - 2)^2$

в) $16a^2 + 24a + 9$

Данный трёхчлен можно разложить с помощью формулы квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $16a^2 = (4a)^2$ и последний член $9 = 3^2$.

Предположим, что $x=4a$ и $y=3$.

Проверим средний член, который должен быть равен удвоенному произведению $2xy$: $2 \cdot 4a \cdot 3 = 24a$.

Средний член совпадает, следовательно, трёхчлен является полным квадратом суммы:

$16a^2 + 24a + 9 = (4a + 3)^2$

Ответ: $(4a + 3)^2$

г) $0,25m^2 - 2m + 4$

Этот трёхчлен является полным квадратом разности и может быть разложен по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $0,25m^2 = (0,5m)^2$. Последний член $4 = 2^2$.

Следовательно, можно предположить, что $a=0,5m$ и $b=2$.

Проверим средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $-2ab = -2 \cdot 0,5m \cdot 2 = -2m$.

Средний член совпадает с тем, что в исходном выражении. Значит, наш трёхчлен можно свернуть в квадрат разности:

$0,25m^2 - 2m + 4 = (0,5m - 2)^2$

Ответ: $(0,5m - 2)^2$