Номер 70, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

70. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.

1) Обозначьте длину одного из катетов через $x$ см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Для решения задачи-исследования выполним предложенные шаги.

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

Пусть длина одного катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, сумма длин катетов равна 6 см. Следовательно, длина второго катета будет равна $(6 - x)$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

Подставив наши значения, получим выражение для площади $S$ как функцию от $x$:

$S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (6 - x)$

Так как длина катета должна быть положительной, то $x > 0$ и $6 - x > 0$, что означает $x < 6$. Таким образом, переменная $x$ может принимать значения в интервале $(0; 6)$.

Ответ: Выражение для вычисления площади треугольника: $S(x) = \frac{1}{2}x(6-x)$, где $0 < x < 6$.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

Нам нужно найти, при каком значении $x$ функция $S(x) = \frac{1}{2}x(6-x)$ достигает своего максимума. Раскроем скобки в выражении:

$S(x) = \frac{1}{2}(6x - x^2) = 3x - \frac{1}{2}x^2 = -0.5x^2 + 3x$

Эта функция является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -0.5 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a = -0.5$ и $b = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{3}{-1} = 3$

Значение $x = 3$ принадлежит интервалу $(0; 6)$, поэтому оно является точкой максимума для нашей задачи.

При $x=3$ см, длина первого катета равна 3 см, а длина второго катета равна $6 - 3 = 3$ см. Это означает, что треугольник является равнобедренным.

Ответ: Выражение принимает наибольшее значение при $x=3$. Это соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетами по 3 см.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Мы нашли, что площадь будет наибольшей при $x=3$ см. Теперь вычислим значение этой площади, подставив $x=3$ в наше выражение:

$S(3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 - 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, наибольшая площадь равна 4,5 см².

Ответ: Наибольшее значение площади треугольника равно 4,5 см².