Номер 66, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

66. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение;

б) $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение;

в) $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение;

г) $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение;

д) $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение;

е) $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

Для доказательства утверждений, представленных в задаче, используется метод выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ к виду $a(x-m)^2 + n$. После такого преобразования знак трёхчлена становится очевидным, так как выражение $(x-m)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$).

а)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 6x + 10$. Выделим в нём полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(x-3)^2$ равно $0$. Тогда наименьшее значение всего трёхчлена равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и весь трёхчлен $x^2 - 6x + 10$ принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение при любом $x$.

б)

Рассмотрим трёхчлен $5x^2 - 10x + 5$. Сначала вынесем общий множитель $5$ за скобки:

$5x^2 - 10x + 5 = 5(x^2 - 2x + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Таким образом, трёхчлен равен $5(x-1)^2$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, и множитель $5 > 0$, то произведение $5(x-1)^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $5(x-1)^2 \ge 0$.

Ответ: Доказано, что $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение при любом $x$.

в)

Рассмотрим трёхчлен $-x^2 + 20x - 100$. Вынесем $-1$ за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 20x + 100 = (x-10)^2$.

Значит, исходный трёхчлен равен $-(x-10)^2$.

Так как $(x-10)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x-10)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(x-10)^2 \le 0$.

Ответ: Доказано, что $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение при любом $x$.

г)

Рассмотрим трёхчлен $-2x^2 + 16x - 33$. Выделим полный квадрат. Вынесем коэффициент $-2$ за скобки у первых двух слагаемых:

$-2(x^2 - 8x) - 33 = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2) - 33 = -2((x-4)^2 - 16) - 33$.

Раскроем скобки: $-2(x-4)^2 + (-2)(-16) - 33 = -2(x-4)^2 + 32 - 33 = -2(x-4)^2 - 1$.

Выражение $(x-4)^2 \ge 0$. При умножении на $-2$ знак неравенства меняется: $-2(x-4)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-2(x-4)^2$ равно $0$ (достигается при $x=4$).

Тогда наибольшее значение всего трёхчлена равно $0 - 1 = -1$.

Поскольку $-2(x-4)^2 - 1 \le -1$, а $-1 < 0$, то трёхчлен всегда принимает отрицательные значения.

Ответ: Доказано, что $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение при любом $x$.

д)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 0,32x + 0,0256$. Заметим, что $0,32 = 2 \cdot 0,16$ и $0,0256 = (0,16)^2$.

Следовательно, выражение является формулой квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,16 + (0,16)^2 = (x - 0,16)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 0,16)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Ответ: Доказано, что $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение при любом $x$.

е)

Рассмотрим трёхчлен $4x^2 + 0,8x + 2$. Выделим полный квадрат. Представим $4x^2$ как $(2x)^2$ и $0,8x$ как $2 \cdot (2x) \cdot 0,2$.

$4x^2 + 0,8x + 2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 0,2 + (0,2)^2 - (0,2)^2 + 2$.

Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:

$((2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 0,2 + (0,2)^2) - 0,04 + 2 = (2x + 0,2)^2 + 1,96$.

Выражение $(2x + 0,2)^2$ всегда неотрицательно: $(2x + 0,2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, $(2x + 0,2)^2 + 1,96 \ge 0 + 1,96$, то есть $(2x + 0,2)^2 + 1,96 \ge 1,96$.

Так как $1,96 > 0$, то и весь трёхчлен принимает только положительные значения.

Ответ: Доказано, что $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение при любом $x$.