Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

58. Какие из чисел 1, 2, $3 - \sqrt{2}$, $-7 + \sqrt{2}$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$?

Чтобы проверить, является ли число корнем квадратного трёхчлена, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в выражение $x^2 - 6x + 7$ и проверить, равно ли полученное значение нулю.

1

Подставим $x=1$ в трёхчлен $x^2 - 6x + 7$:

$1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

Так как $2 \neq 0$, число 1 не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

2

Подставим $x=2$ в трёхчлен $x^2 - 6x + 7$:

$2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1$

Так как $-1 \neq 0$, число 2 не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

3 - √2

Подставим $x = 3 - \sqrt{2}$ в трёхчлен. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7 = (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - (18 - 6\sqrt{2}) + 7$

$= (9 - 6\sqrt{2} + 2) - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

$= 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

Теперь сгруппируем и сложим рациональные и иррациональные части:

$(11 - 18 + 7) + (-6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Так как в результате вычислений получился ноль, число $3 - \sqrt{2}$ является корнем трёхчлена.

Ответ: является.

-7 + √2

Подставим $x = -7 + \sqrt{2}$ в трёхчлен. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7 = ((-7)^2 + 2 \cdot (-7) \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - (-42 + 6\sqrt{2}) + 7$

$= (49 - 14\sqrt{2} + 2) + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

$= 51 - 14\sqrt{2} + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и сложим рациональные и иррациональные части:

$(51 + 42 + 7) + (-14\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) = 100 - 20\sqrt{2}$

Так как $100 - 20\sqrt{2} \neq 0$, число $-7 + \sqrt{2}$ не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

В результате проверки установлено, что из предложенных чисел корнем квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$ является только число $3 - \sqrt{2}$.

59. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $x^2 + x - 6;$

б) $9x^2 - 9x + 2;$

в) $0,2x^2 + 3x - 20;$

г) $-2x^2 - x - 0,125;$

д) $0,1x^2 + 0,4;$

е) $-0,3x^2 + 1,5x.$

а) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$, необходимо решить квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Также можно было использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -3.
Ответ: $x_1=2$, $x_2=-3$.

б) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $9x^2 - 9x + 2$, решим уравнение $9x^2 - 9x + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=9$, $b=-9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1=\frac{2}{3}$, $x_2=\frac{1}{3}$.

в) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $0,2x^2 + 3x - 20$, решим уравнение $0,2x^2 + 3x - 20 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$5 \cdot (0,2x^2 + 3x - 20) = 5 \cdot 0$
$x^2 + 15x - 100 = 0$.
Теперь коэффициенты: $a=1$, $b=15$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$.
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-15 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$.
Ответ: $x_1=5$, $x_2=-20$.

г) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-2x^2 - x - 0,125$, решим уравнение $-2x^2 - x - 0,125 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -8, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$:
$-8 \cdot (-2x^2 - x - 0,125) = -8 \cdot 0$
$16x^2 + 8x + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x+1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $4x+1 = 0$.
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Проверим через дискриминант для исходного уравнения ($a=-2, b=-1, c=-0,125$):
$D = (-1)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-0,125) = 1 - 8 \cdot 0,125 = 1 - 1 = 0$.
При $D=0$ корень один: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{-4} = -0,25$.
Ответ: $x=-0,25$.

д) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $0,1x^2 + 0,4$, решим уравнение $0,1x^2 + 0,4 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение.
Перенесем свободный член в правую часть:
$0,1x^2 = -0,4$.
Разделим обе части на 0,1:
$x^2 = \frac{-0,4}{0,1} = -4$.
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Можно также посчитать дискриминант. В данном случае $a=0,1$, $b=0$, $c=0,4$.
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 0,1 \cdot 0,4 = 0 - 0,16 = -0,16$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: действительных корней нет.

е) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-0,3x^2 + 1,5x$, решим уравнение $-0,3x^2 + 1,5x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, у которого свободный член $c=0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-0,3x + 1,5) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:
1) $x_1 = 0$.
2) $-0,3x + 1,5 = 0$.
$-0,3x = -1,5$.
$x_2 = \frac{-1,5}{-0,3} = 5$.
Ответ: $x_1=0$, $x_2=5$.

60. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $10x^2 + 5x - 5$;

б) $-2x^2 + 12x - 18$;

в) $x^2 - 2x - 4$;

г) $12x^2 - 12$.

а) $10x^2 + 5x - 5$

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение:

$10x^2 + 5x - 5 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$2x^2 + x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

б) $-2x^2 + 12x - 18$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$-2x^2 + 12x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x-3)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Ответ: $3$.

в) $x^2 - 2x - 4$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

г) $12x^2 - 12$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$12x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на 12:

$12x^2 = 12$

$x^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:

$x = \pm 1$

Ответ: $-1; 1$.

61. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

а) $5x^2 - 8x + 3;$

б) $9x^2 + 6x + 1;$

в) $-7x^2 + 6x - 2;$

г) $-x^2 + 5x - 3?$

Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни и сколько их, необходимо найти значение его дискриминанта. Для квадратного трёхчлена общего вида $ax^2 + bx + c$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, то трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, то трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, то трёхчлен не имеет действительных корней.

а) $5x^2 - 8x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -8$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Поскольку $D = 4 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) $9x^2 + 6x + 1$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
Поскольку $D = 0$, квадратный трёхчлен имеет один корень.
Ответ: имеет один корень.

в) $-7x^2 + 6x - 2$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = -7$, $b = 6$, $c = -2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 36 - 56 = -20$.
Поскольку $D = -20 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

г) $-x^2 + 5x - 3$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 5$, $c = -3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 25 - 12 = 13$.
Поскольку $D = 13 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

62. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

а) $-4x^2 - 4x + 3$;

б) $4x^2 - 4x + 3$;

в) $9x^2 - 12x + 4$;

г) $9x^2 - 12x - 4?$

Для того чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни и сколько их, нужно вычислить его дискриминант. Квадратный трёхчлен имеет общий вид $ax^2 + bx + c$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.

Применим это правило к каждому из заданных трёхчленов.

а) $-4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = -4$, $b = -4$, $c = 3$.
Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$.
Поскольку $D = 64 > 0$, данный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) $4x^2 - 4x + 3$

Здесь коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Поскольку $D = -32 < 0$, данный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

в) $9x^2 - 12x + 4$

Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 9$, $b = -12$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень. Стоит отметить, что этот трёхчлен является полным квадратом разности: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Ответ: имеет один корень.

г) $9x^2 - 12x - 4$

Коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.
Поскольку $D = 288 > 0$, данный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

63. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

Обозначим искомый квадратный трёхчлен в общем виде: $ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$, и $c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения:

1. Сумма коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.
2. Свободный член ($c$) в 4 раза больше старшего коэффициента ($a$): $c = 4a$.

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить коэффициент $b$ через $a$:

$a + b + (4a) = 0$

$5a + b = 0$

$b = -5a$

Теперь мы можем записать наш квадратный трёхчлен, используя только коэффициент $a$:

$ax^2 + (-5a)x + 4a$

Чтобы найти корни этого трёхчлена, нужно решить уравнение:

$ax^2 - 5ax + 4a = 0$

Поскольку $a$ — старший коэффициент квадратного трёхчлена, он не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение можно решить несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае $p = -5$ и $q = 4$. Значит:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Подбором находим, что корнями являются числа 1 и 4, так как $1+4=5$ и $1 \cdot 4=4$.

Способ 2: Через дискриминант

Для уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Теперь найдём корни по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Способ 3: Используя свойство суммы коэффициентов

Если сумма коэффициентов многочлена равна нулю ($a+b+c=0$), то $x=1$ всегда является одним из его корней. Проверим: $a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c = 0$. Значит, $x_1 = 1$.

По теореме Виета для исходного трёхчлена $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Так как $x_1 = 1$, получаем $1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то есть $x_2 = \frac{c}{a}$.

Из условия задачи мы знаем, что $c=4a$. Отсюда $\frac{c}{a}=4$.

Следовательно, второй корень $x_2 = 4$.

Все способы приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1; 4.

64. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2 - 6x - 2$;

б) $x^2 + 5x + 20$;

в) $2x^2 - 4x + 10$;

г) $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$.

а) $x^2 - 6x - 2$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $x^2 - 6x - 2$ будем использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, а $-6x$ соответствует $-2ab$. Если $a=x$, то $-2xb = -6x$, откуда находим, что $b=3$.

Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам необходим член $b^2 = 3^2 = 9$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 9:

$x^2 - 6x - 2 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 2$

Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x-3)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x-3)^2 - 11$

Ответ: $(x-3)^2 - 11$

б) $x^2 + 5x + 20$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $x^2 + 5x + 20$ будем использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, а $5x$ соответствует $2ab$. Если $a=x$, то $2xb = 5x$, откуда находим, что $b=\frac{5}{2}$.

Для получения полного квадрата $(x+\frac{5}{2})^2$ нам необходим член $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число:

$x^2 + 5x + 20 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 20$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+\frac{5}{2})^2$. Упростим оставшиеся константы:

$(x+\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{80}{4} = (x+\frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

Ответ: $(x+\frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

в) $2x^2 - 4x + 10$

Поскольку коэффициент при $x^2$ не равен 1, сначала вынесем его за скобки из первых двух членов:

$2(x^2 - 2x) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 2x$. Используя формулу квадрата разности, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$.

Необходимый член для полного квадрата — $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 10$

Сгруппируем члены для образования полного квадрата:

$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 10 = 2((x-1)^2 - 1) + 10$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$2(x-1)^2 - 2 \cdot 1 + 10 = 2(x-1)^2 + 8$

Ответ: $2(x-1)^2 + 8$

г) $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$

Сначала вынесем коэффициент $\frac{1}{2}$ при $x^2$ за скобки из первых двух членов:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x) - 6$

Выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 + 2x$. Используя формулу квадрата суммы, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$.

Необходимый член для полного квадрата — $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6$

Сгруппируем члены для образования полного квадрата:

$\frac{1}{2}((x^2 + 2x + 1) - 1) - 6 = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) - 6$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - 6$

Приведем константы к общему знаменателю:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{12}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

65. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2 - 10x + 10;$

б) $x^2 + 3x - 1;$

в) $3x^2 + 6x - 3;$

г) $\frac{1}{4}x^2 - x + 2.$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 - 10x + 10$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Член $-10x$ соответствует $-2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $-2xb = -10x$, откуда находим $b=5$.
Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 5^2 = 25$.
Представим исходный трёхчлен, прибавив и отняв 25:
$x^2 - 10x + 10 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 10$
Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x-5)^2$.
$(x^2 - 10x + 25) - 25 + 10 = (x-5)^2 - 15$.
Ответ: $(x-5)^2 - 15$

б) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 + 3x - 1$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Член $3x$ соответствует $2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.
Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Прибавим и отнимем $\frac{9}{4}$ в исходном выражении:
$x^2 + 3x - 1 = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1$
Выражение в скобках является полным квадратом $(x+\frac{3}{2})^2$.
$(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$.
Ответ: $(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

в) Для выделения квадрата двучлена из выражения $3x^2 + 6x - 3$ сначала вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть 3:
$3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2 + 2x - 1)$.
Теперь выделим квадрат двучлена для выражения в скобках $x^2 + 2x - 1$, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2xb = 2x$, откуда $b=1$. Нужное слагаемое $b^2=1^2=1$.
Прибавим и отнимем 1 внутри скобок:
$3(x^2 + 2x - 1) = 3((x^2 + 2x + 1) - 1 - 1)$
Группируем слагаемые в скобках:
$3((x^2 + 2x + 1) - 2) = 3((x+1)^2 - 2)$
Теперь раскроем внешние скобки, умножив на 3:
$3(x+1)^2 - 3 \cdot 2 = 3(x+1)^2 - 6$.
Ответ: $3(x+1)^2 - 6$

г) Для выделения квадрата двучлена из выражения $\frac{1}{4}x^2 - x + 2$ вынесем за скобки коэффициент $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}x^2 - x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8)$.
Теперь работаем с выражением в скобках $x^2 - 4x + 8$, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $-2xb = -4x$, откуда $b=2$. Нужное слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$.
Прибавим и отнимем 4 внутри скобок:
$\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8) = \frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) - 4 + 8)$
Группируем слагаемые в скобках:
$\frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) + 4) = \frac{1}{4}((x-2)^2 + 4)$
Раскроем внешние скобки, умножив на $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}(x-2)^2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$.
Ответ: $\frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$

66. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение;

б) $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение;

в) $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение;

г) $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение;

д) $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение;

е) $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

Для доказательства утверждений, представленных в задаче, используется метод выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ к виду $a(x-m)^2 + n$. После такого преобразования знак трёхчлена становится очевидным, так как выражение $(x-m)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$).

а)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 6x + 10$. Выделим в нём полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(x-3)^2$ равно $0$. Тогда наименьшее значение всего трёхчлена равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и весь трёхчлен $x^2 - 6x + 10$ принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение при любом $x$.

б)

Рассмотрим трёхчлен $5x^2 - 10x + 5$. Сначала вынесем общий множитель $5$ за скобки:

$5x^2 - 10x + 5 = 5(x^2 - 2x + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Таким образом, трёхчлен равен $5(x-1)^2$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, и множитель $5 > 0$, то произведение $5(x-1)^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $5(x-1)^2 \ge 0$.

Ответ: Доказано, что $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение при любом $x$.

в)

Рассмотрим трёхчлен $-x^2 + 20x - 100$. Вынесем $-1$ за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 20x + 100 = (x-10)^2$.

Значит, исходный трёхчлен равен $-(x-10)^2$.

Так как $(x-10)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x-10)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(x-10)^2 \le 0$.

Ответ: Доказано, что $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение при любом $x$.

г)

Рассмотрим трёхчлен $-2x^2 + 16x - 33$. Выделим полный квадрат. Вынесем коэффициент $-2$ за скобки у первых двух слагаемых:

$-2(x^2 - 8x) - 33 = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2) - 33 = -2((x-4)^2 - 16) - 33$.

Раскроем скобки: $-2(x-4)^2 + (-2)(-16) - 33 = -2(x-4)^2 + 32 - 33 = -2(x-4)^2 - 1$.

Выражение $(x-4)^2 \ge 0$. При умножении на $-2$ знак неравенства меняется: $-2(x-4)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-2(x-4)^2$ равно $0$ (достигается при $x=4$).

Тогда наибольшее значение всего трёхчлена равно $0 - 1 = -1$.

Поскольку $-2(x-4)^2 - 1 \le -1$, а $-1 < 0$, то трёхчлен всегда принимает отрицательные значения.

Ответ: Доказано, что $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение при любом $x$.

д)

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - 0,32x + 0,0256$. Заметим, что $0,32 = 2 \cdot 0,16$ и $0,0256 = (0,16)^2$.

Следовательно, выражение является формулой квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,16 + (0,16)^2 = (x - 0,16)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 0,16)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Ответ: Доказано, что $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение при любом $x$.

е)

Рассмотрим трёхчлен $4x^2 + 0,8x + 2$. Выделим полный квадрат. Представим $4x^2$ как $(2x)^2$ и $0,8x$ как $2 \cdot (2x) \cdot 0,2$.

$4x^2 + 0,8x + 2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 0,2 + (0,2)^2 - (0,2)^2 + 2$.

Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:

$((2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 0,2 + (0,2)^2) - 0,04 + 2 = (2x + 0,2)^2 + 1,96$.

Выражение $(2x + 0,2)^2$ всегда неотрицательно: $(2x + 0,2)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, $(2x + 0,2)^2 + 1,96 \ge 0 + 1,96$, то есть $(2x + 0,2)^2 + 1,96 \ge 1,96$.

Так как $1,96 > 0$, то и весь трёхчлен принимает только положительные значения.

Ответ: Доказано, что $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение при любом $x$.