Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

$T, \degree C$

$t, \text{мин}$

Рис. 17

$T, \degree C$

$t, \text{мин}$

Рис. 18

На рисунке 17 изображён график температуры воды в сосуде. Опишите, как изменялась температура, и укажите промежуток времени, в течение которого проводилось наблюдение. Каково было наибольшее значение температуры?

Для решения задачи проанализируем график зависимости температуры $T$ (в $^\circ\text{C}$) от времени $t$ (в минутах), изображенный на рисунке 17.

Как изменялась температура

В начальный момент времени ($t=0$ мин) температура воды составляла $20\,^\circ\text{C}$. В течение первых 12 минут ($0 \le t \le 12$ мин) температура непрерывно росла. Этот процесс соответствует нагреванию воды. В момент времени $t=12$ мин температура достигла своего максимального значения. После этого, в промежутке времени от 12 до 22 минут ($12 \text{ мин} < t \le 22 \text{ мин}$), температура плавно снижалась, что соответствует остыванию воды.

Ответ: В течение первых 12 минут температура воды росла, а затем, достигнув максимума, начала снижаться.

Промежуток времени, в течение которого проводилось наблюдение

Чтобы определить промежуток времени, посмотрим на горизонтальную ось графика (ось абсцисс), которая отсчитывает время $t$ в минутах. График начинается в точке $t=0$ мин. Конечная точка графика соответствует значению $t=22$ мин, так как она находится на два малых деления правее отметки «20», а цена одного малого деления по оси времени составляет $(4-0)/4 = 1$ минута. Следовательно, наблюдение проводилось в течение 22 минут.

Ответ: Наблюдение проводилось в течение 22 минут, с момента времени $t=0$ мин до $t=22$ мин.

Каково было наибольшее значение температуры

Наибольшее значение температуры соответствует самой высокой точке (вершине) на графике. Вершина достигается при $t=12$ мин. Чтобы найти численное значение этой температуры, посмотрим на вертикальную ось (ось ординат). Цена одного малого деления по оси температур равна $(80 - 60) / 4 = 5\,^\circ\text{C}$. Вершина графика расположена на два малых деления выше линии $80\,^\circ\text{C}$. Таким образом, наибольшая температура равна: $T_{max} = 80\,^\circ\text{C} + 2 \times 5\,^\circ\text{C} = 90\,^\circ\text{C}$.

Ответ: Наибольшее значение температуры было $90\,^\circ\text{C}$.

34. Кусок льда, имеющий температуру $-5^{\circ}\text{C}$, нагревали в течение 16 мин. Результат нагревания показан на графике (рис. 18).

Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс в каждом из промежутков $[0; 4]$, $(4; 10)$, $[10; 16]$?

Рис. 18

[0; 4]

На этом участке графика мы видим, что температура вещества линейно возрастает с начальной температуры $-5 \,^{\circ}\text{C}$ до $0 \,^{\circ}\text{C}$. Поскольку исходное вещество — это лед, данный процесс представляет собой нагревание льда в твердом агрегатном состоянии. Вся подводимая тепловая энергия идет на увеличение кинетической энергии молекул вещества, что проявляется в росте его температуры.

Ответ: Нагревание льда.

(4; 10)

В этом временном интервале, с 4-й по 10-ю минуту, температура вещества остается постоянной и равной $0 \,^{\circ}\text{C}$. Это температура плавления льда (и замерзания воды). Несмотря на то, что нагревание продолжается, температура не растет. Это означает, что происходит фазовый переход: лед плавится, превращаясь в воду. Вся поступающая энергия расходуется на разрушение кристаллической решетки льда, а не на увеличение температуры. На этом этапе вещество существует одновременно в двух фазах: твердой (лед) и жидкой (вода).

Ответ: Плавление льда (переход из твердого состояния в жидкое).

[10; 16]

На 10-й минуте весь лед растаял. Начиная с этого момента, температура снова начинает расти. На данном участке графика мы наблюдаем нагревание вещества, которое уже полностью перешло в жидкое состояние (воду). Температура воды увеличивается с $0 \,^{\circ}\text{C}$ (в момент времени $t=10$ мин) до $3 \,^{\circ}\text{C}$ (в момент времени $t=16$ мин). Как и на первом участке, подводимая энергия идет на увеличение температуры вещества.

Ответ: Нагревание воды.

35. (Для работы в парах.) На рисунке 19 изображён график функции $y = f(x)$, где $-7 \le x \le 5$. Укажите:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых она убывает;

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.

3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.

Рис. 19

а) нули функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. На графике это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.
Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.
Ответ: нули функции: -5, -1, 2, 4.

б) промежутки, в которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -7$ до $x = -5$ (включая $-7$, т.к. $f(-7) > 0$); от $x = -1$ до $x = 2$; от $x = 4$ до $x = 5$ (включая $5$, т.к. $f(5) > 0$).
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках: от $x = -5$ до $x = -1$; от $x = 2$ до $x = 4$.
Ответ: функция положительна на промежутках $[-7; -5) \cup (-1; 2) \cup (4; 5]$; функция отрицательна на промежутках $(-5; -1) \cup (2; 4)$.

в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых она убывает;

Функция возрастает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх, если смотреть слева направо).
Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз).
Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), называются точками экстремума. На данном графике это точки с абсциссами $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$.
Промежутки возрастания: от локального минимума при $x = -4$ до локального максимума при $x = 0$, и от локального минимума при $x = 3$ до конца отрезка при $x = 5$.
Промежутки убывания: от начала отрезка при $x = -7$ до локального минимума при $x = -4$, и от локального максимума при $x = 0$ до локального минимума при $x = 3$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-7; -4]$ и $[0; 3]$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее значение функции – это максимальное значение $y$ на всей области определения $[-7; 5]$. Наименьшее значение – это минимальное значение $y$ на этой же области.
Для их нахождения нужно найти значения функции в точках локальных максимумов и минимумов (точки экстремума) и на концах заданного отрезка, а затем выбрать из них самое большое и самое маленькое.
Значения в точках экстремума:
$f(-4) = -2$ (локальный минимум);
$f(0) = 4$ (локальный максимум);
$f(3) = -4$ (локальный минимум).
Значения на концах отрезка:
$f(-7) = 6$;
$f(5) = 2$.
Сравниваем все полученные значения: $\{6, 4, 2, -2, -4\}$.
Самое большое из этих значений равно 6. Это наибольшее значение функции, $y_{наиб.}$. Оно достигается при $x = -7$.
Самое маленькое из этих значений равно -4. Это наименьшее значение функции, $y_{наим.}$. Оно достигается при $x = 3$.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 6$; наименьшее значение функции $y_{наим.} = -4$.

36. Перечислите свойства функции $y = g(x)$, график которой изображён на рисунке 20.

$y = f(x)$

Рис. 19

$y = g(x)$

Рис. 20

1. Область определения функции
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, на котором задана функция. По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -5 до 5 включительно.
Ответ: $D(g) = [-5, 5]$.

2. Область значений функции
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение функции на данном промежутке, судя по графику, равно -4 (при $x=-5$), а наибольшее равно 6 (при $x=5$).
Ответ: $E(g) = [-4, 6]$.

3. Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x) = 0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика находим три таких точки.
Ответ: $x = -2.5, x = 1.5, x = 2.5$.

4. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($g(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$.
Функция отрицательна ($g(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-2.5, 1.5) \cup (2.5, 5]$; функция отрицательна при $x \in [-5, -2.5) \cup (1.5, 2.5)$.

5. Промежутки монотонности
Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
Функция возрастает, если при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх).
Функция убывает, если при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз).
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5, 0]$ и $[2, 5]$; функция убывает на промежутке $[0, 2]$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции
Точки экстремума — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет знак. Визуально это "вершины" и "впадины" на графике.
В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум.
В точке $x=2$ функция имеет локальный минимум.
Ответ: точка локального максимума $x_{max} = 0$, локальный максимум $g(0) = 3$; точка локального минимума $x_{min} = 2$, локальный минимум $g(2) = -1$.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-5, 5]$ находятся путем сравнения значений функции в точках локальных экстремумов и на концах отрезка.
Значения в интересующих точках: $g(-5) = -4$, $g(0) = 3$, $g(2) = -1$, $g(5) = 6$.
Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$ (достигается при $x = 5$); наименьшее значение функции $y_{наим} = -4$ (достигается при $x = -5$).

8. Четность
Функция является четной, если $g(-x) = g(x)$ (график симметричен относительно оси $Oy$), и нечетной, если $g(-x) = -g(x)$ (график симметричен относительно начала координат).
Проверим на примере: $g(4) = 3$, а $g(-4) = -1$. Так как $g(-4) \neq g(4)$ и $g(-4) \neq -g(4)$, то функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

9. Непрерывность
Функция называется непрерывной на промежутке, если ее график на этом промежутке является сплошной линией, без разрывов. График функции $y=g(x)$ является сплошной линией на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения, то есть на отрезке $[-5, 5]$.