Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. (Задача-исследование.) Изменение температуры воды $p$ ($^\circ$C) в баке как функции времени $t$ (мин) описано с помощью формул:

$p = \begin{cases} 2t + 20, & \text{если } 0 \le t < 40, \\ 100, & \text{если } 40 \le t \le 60, \\ -\frac{2}{3}t + 140, & \text{если } 60 < t \le 150. \end{cases}$

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

2) Постройте график функции $p = f(t)$.

3) Обсудите, какой физический смысл имел процесс, описанный функцией $p = f(t)$, в каждом из промежутков времени $[0; 40)$; $[40; 60]$; $(60; 150]$.

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

Для анализа изменения температуры рассмотрим каждый промежуток времени отдельно, исходя из заданной кусочно-линейной функции $p(t)$.

Промежуток $0 \le t < 40$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = 2t + 20$. Это линейная функция вида $y = kx + b$ с угловым коэффициентом $k=2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что температура воды равномерно повышается.

Найдем значения температуры на границах промежутка:

• При $t = 0$ (начальный момент): $p(0) = 2 \cdot 0 + 20 = 20^\circ\text{С}$.
• При $t \to 40$ (в конце промежутка): $p(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100^\circ\text{С}$.

Таким образом, с 0-й по 40-ю минуту температура линейно возрастала с $20^\circ\text{С}$ до $100^\circ\text{С}$.

Промежуток $40 \le t \le 60$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = 100$. Это функция, значение которой постоянно.

Температура воды не изменялась и оставалась равной $100^\circ\text{С}$.

Промежуток $60 < t \le 150$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = -\frac{2}{3}t + 140$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что температура воды равномерно понижается.

Найдем значения температуры на границах промежутка:

• При $t \to 60$ (в начале промежутка): $p(60) = -\frac{2}{3} \cdot 60 + 140 = -40 + 140 = 100^\circ\text{С}$.
• При $t = 150$ (конечный момент): $p(150) = -\frac{2}{3} \cdot 150 + 140 = -100 + 140 = 40^\circ\text{С}$.

Таким образом, с 60-й по 150-ю минуту температура линейно убывала со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.

Ответ: В промежутке времени от 0 до 40 минут температура равномерно росла с $20^\circ\text{С}$ до $100^\circ\text{С}$. В промежутке от 40 до 60 минут температура была постоянной и составляла $100^\circ\text{С}$. В промежутке от 60 до 150 минут температура равномерно снижалась со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.

2) Постройте график функции $p = f(t)$.

График функции $p(t)$ состоит из трех отрезков прямых. Для построения графика определим координаты ключевых точек на плоскости $(t, p)$, где $t$ — время в минутах (ось абсцисс), а $p$ — температура в градусах Цельсия (ось ординат).

• Первый участок ($0 \le t < 40$): График функции $p(t) = 2t + 20$. Это отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(0, p(0)) = (0, 20)$.
  • Конечная точка: $(40, p(40)) = (40, 100)$. Точка $(40, 100)$ не включается в этот интервал, но является его пределом.
• Второй участок ($40 \le t \le 60$): График функции $p(t) = 100$. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(40, 100)$.
  • Конечная точка: $(60, 100)$.
• Третий участок ($60 < t \le 150$): График функции $p(t) = -\frac{2}{3}t + 140$. Это отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(60, p(60)) = (60, 100)$. Точка $(60, 100)$ не включается в этот интервал, но является его пределом.
  • Конечная точка: $(150, p(150)) = (150, 40)$.

Функция является непрерывной, так как значения на стыках интервалов совпадают: $p(40)$ для первого и второго участков равно $100^\circ\text{С}$, а $p(60)$ для второго и третьего участков равно $100^\circ\text{С}$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, состоящую из трех отрезков. Первый отрезок поднимается из точки $(0, 20)$ в точку $(40, 100)$. Второй отрезок — горизонтальная линия от точки $(40, 100)$ до точки $(60, 100)$. Третий отрезок опускается из точки $(60, 100)$ в точку $(150, 40)$.

3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией $p = f(t)$, в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150].

Рассмотрим физическую интерпретацию каждого этапа процесса.

Промежуток [0; 40): В начальный момент времени ($t=0$) вода имела температуру $20^\circ\text{С}$ (комнатная температура). Затем в течение 40 минут происходил равномерный нагрев воды до температуры $100^\circ\text{С}$. Эта температура является точкой кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Линейный рост температуры означает, что мощность нагревательного элемента была постоянной.

Промежуток [40; 60]: В течение следующих 20 минут (с 40-й по 60-ю) температура воды оставалась постоянной на уровне $100^\circ\text{С}$. Физически это соответствует процессу кипения. Вода кипит, и вся подводимая энергия расходуется на парообразование (превращение воды в пар), а не на повышение температуры.

Промежуток (60; 150]: В момент времени $t=60$ нагрев прекратился, и начался процесс остывания. В течение 90 минут (с 60-й по 150-ю) температура воды равномерно снижалась со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$. Линейное остывание является упрощенной моделью; в реальности остывание происходит по экспоненциальному закону (закон Ньютона-Рихмана), но линейная аппроксимация может быть использована для описания процесса на определенном промежутке времени.

Ответ: В промежутке [0; 40) происходит нагрев воды от $20^\circ\text{С}$ до температуры кипения $100^\circ\text{С}$. В промежутке [40; 60] вода кипит при постоянной температуре $100^\circ\text{С}$. В промежутке (60; 150] происходит остывание воды после выключения нагревателя с $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.

28. Зависимость расстояния s (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения t (ч) задана следующим образом:

$s = \begin{cases} 15t, & \text{если } 0 \le t < \frac{7}{6}, \\ 17,5, & \text{если } \frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}, \\ -12t + 35,5, & \text{если } \frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}. \end{cases}$

Найдите $s(0)$; $s(1)$; $s(1,4)$; $s(2)$. Постройте график функции $s = f(t)$ (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Зависимость расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч) задана кусочной функцией:

$s(t) = \begin{cases} 15t, & \text{если } 0 \le t < \frac{7}{6} \\ 17,5, & \text{если } \frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2} \\ -12t + 35,5, & \text{если } \frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2} \end{cases}$

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2).

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, какому временному интервалу принадлежит каждая точка, и использовать соответствующую формулу.

• Для $t=0$: значение $t=0$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$.
  Следовательно, $s(0) = 15 \cdot 0 = 0$ км.

• Для $t=1$: значение $t=1$ также принадлежит первому интервалу, так как $1 < \frac{7}{6} \approx 1,17$.
  Следовательно, $s(1) = 15 \cdot 1 = 15$ км.

• Для $t=1,4$: сравним $t=1,4$ с границами интервалов. $\frac{7}{6} \approx 1,17$ и $\frac{3}{2} = 1,5$. Так как $1,17 \le 1,4 \le 1,5$, значение $t=1,4$ принадлежит второму интервалу.
  Следовательно, $s(1,4) = 17,5$ км.

• Для $t=2$: сравним $t=2$ с границами интервалов. $\frac{3}{2} = 1,5$ и $\frac{5}{2} = 2,5$. Так как $1,5 < 2 \le 2,5$, значение $t=2$ принадлежит третьему интервалу.
  Следовательно, $s(2) = -12 \cdot 2 + 35,5 = -24 + 35,5 = 11,5$ км.

Ответ: $s(0) = 0$ км; $s(1) = 15$ км; $s(1,4) = 17,5$ км; $s(2) = 11,5$ км.

Постройте график функции s = f(t) (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки).

График функции состоит из трех участков:

1. На интервале $t \in [0; \frac{7}{6})$ график представляет собой отрезок прямой $s = 15t$. Найдем координаты его конечных точек:
   При $t=0$, $s = 15 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
   При $t=\frac{7}{6}$, $s = 15 \cdot \frac{7}{6} = \frac{35}{2} = 17,5$. Точка $(\frac{7}{6}; 17,5)$.

2. На интервале $t \in [\frac{7}{6}; \frac{3}{2}]$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $s=17,5$. Он соединяет точки $(\frac{7}{6}; 17,5)$ и $(\frac{3}{2}; 17,5)$.

3. На интервале $t \in (\frac{3}{2}; \frac{5}{2}]$ график представляет собой отрезок прямой $s = -12t + 35,5$. Найдем координаты его конечных точек:
   При $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s = -12 \cdot 1,5 + 35,5 = -18 + 35,5 = 17,5$. Точка $(1,5; 17,5)$.
   При $t=\frac{5}{2}=2,5$, $s = -12 \cdot 2,5 + 35,5 = -30 + 35,5 = 5,5$. Точка $(2,5; 5,5)$.

Так как значения функции в точках "стыковки" интервалов совпадают ($s(\frac{7}{6}) = 17,5$ и $s(\frac{3}{2}) = 17,5$), график является непрерывной линией.

Ответ:

Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Анализируя график зависимости расстояния от времени $s(t)$, можно описать движение велосипедиста по этапам.

• Участок 1 ($0 \le t < \frac{7}{6}$ ч): График — прямая $s=15t$, выходящая из начала координат. Это означает, что велосипедист движется от турбазы с постоянной скоростью. Скорость равна угловому коэффициенту, то есть $v_1 = 15$ км/ч. Этот этап длился $\frac{7}{6}$ часа, что составляет 1 час и 10 минут. За это время велосипедист отъехал на расстояние $s(\frac{7}{6}) = 17,5$ км.

• Участок 2 ($\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$ ч): График — горизонтальная прямая $s=17,5$. Это означает, что расстояние от турбазы не менялось, то есть велосипедист стоял на месте. Продолжительность остановки составила $\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9-7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ часа, что равно 20 минутам.

• Участок 3 ($\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$ ч): График — прямая $s=-12t+35,5$ с отрицательным наклоном. Это означает, что расстояние от турбазы уменьшалось, то есть велосипедист двигался обратно к турбазе. Его скорость была постоянной и равной модулю углового коэффициента: $v_2 = |-12| = 12$ км/ч. Этот этап длился $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$ час. В конце этого этапа, в момент времени $t=2,5$ ч, велосипедист находился на расстоянии $s(2,5) = 5,5$ км от турбазы.

Ответ: Сначала велосипедист 1 час 10 минут ехал от турбазы с постоянной скоростью 15 км/ч и проехал 17,5 км. Затем он сделал остановку на 20 минут. После остановки он поехал обратно в сторону турбазы со скоростью 12 км/ч и ехал в течение 1 часа. В конце наблюдения (через 2,5 часа после выезда) он находился на расстоянии 5,5 км от турбазы.

29. Решите уравнение:

a) $-0,5(3x - 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3;$

б) $(2x - 3)(2x + 3) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2.$

а)

Дано уравнение: $-0,5(3x - 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3$.

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для этого умножим множитель перед скобкой на каждый член внутри скобок.

В левой части: $-0,5 \cdot 3x - 0,5 \cdot (-4) + 15x = -1,5x + 2 + 15x$.

В правой части: $4 \cdot 1,5x + 4 \cdot 1 + 3 = 6x + 4 + 3$.

Уравнение принимает вид: $-1,5x + 2 + 15x = 6x + 4 + 3$.

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(-1,5x + 15x) + 2 = 13,5x + 2$.

В правой части: $6x + (4 + 3) = 6x + 7$.

Получаем уравнение: $13,5x + 2 = 6x + 7$.

3. Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены (числа) – в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$13,5x - 6x = 7 - 2$.

4. Выполним вычитание в обеих частях:

$7,5x = 5$.

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $7,5$.

$x = \frac{5}{7,5}$.

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{5 \cdot 10}{7,5 \cdot 10} = \frac{50}{75}$.

Сократим полученную дробь на 25:

$x = \frac{50 \div 25}{75 \div 25} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б)

Дано уравнение: $(2x - 3)(2x + 3) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$.

1. В левой части уравнения выражение $(2x - 3)(2x + 3)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

2. Подставим результат в исходное уравнение:

$(4x^2 - 9) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$.

3. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$4x^2 - x^2 - 9 = 3x^2 - 9$.

Уравнение принимает вид: $3x^2 - 9 = 12x - 69 + 3x^2$.

4. Перенесем все члены уравнения в левую часть, меняя их знаки на противоположные, и приравняем к нулю.

$3x^2 - 9 - 12x + 69 - 3x^2 = 0$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 3x^2) - 12x + (-9 + 69) = 0$.

Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $3x^2 - 3x^2 = 0$.

$-12x + 60 = 0$.

6. Решим полученное линейное уравнение. Перенесем свободный член 60 в правую часть:

$-12x = -60$.

7. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-12$:

$x = \frac{-60}{-12}$.

$x = 5$.

Ответ: $x = 5$.