Номер 29, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Решите уравнение:

a) $-0,5(3x - 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3;$

б) $(2x - 3)(2x + 3) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2.$

а)

Дано уравнение: $-0,5(3x - 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3$.

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Для этого умножим множитель перед скобкой на каждый член внутри скобок.

В левой части: $-0,5 \cdot 3x - 0,5 \cdot (-4) + 15x = -1,5x + 2 + 15x$.

В правой части: $4 \cdot 1,5x + 4 \cdot 1 + 3 = 6x + 4 + 3$.

Уравнение принимает вид: $-1,5x + 2 + 15x = 6x + 4 + 3$.

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(-1,5x + 15x) + 2 = 13,5x + 2$.

В правой части: $6x + (4 + 3) = 6x + 7$.

Получаем уравнение: $13,5x + 2 = 6x + 7$.

3. Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены (числа) – в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$13,5x - 6x = 7 - 2$.

4. Выполним вычитание в обеих частях:

$7,5x = 5$.

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $7,5$.

$x = \frac{5}{7,5}$.

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{5 \cdot 10}{7,5 \cdot 10} = \frac{50}{75}$.

Сократим полученную дробь на 25:

$x = \frac{50 \div 25}{75 \div 25} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б)

Дано уравнение: $(2x - 3)(2x + 3) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$.

1. В левой части уравнения выражение $(2x - 3)(2x + 3)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

2. Подставим результат в исходное уравнение:

$(4x^2 - 9) - x^2 = 12x - 69 + 3x^2$.

3. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$4x^2 - x^2 - 9 = 3x^2 - 9$.

Уравнение принимает вид: $3x^2 - 9 = 12x - 69 + 3x^2$.

4. Перенесем все члены уравнения в левую часть, меняя их знаки на противоположные, и приравняем к нулю.

$3x^2 - 9 - 12x + 69 - 3x^2 = 0$.

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 3x^2) - 12x + (-9 + 69) = 0$.

Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $3x^2 - 3x^2 = 0$.

$-12x + 60 = 0$.

6. Решим полученное линейное уравнение. Перенесем свободный член 60 в правую часть:

$-12x = -60$.

7. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-12$:

$x = \frac{-60}{-12}$.

$x = 5$.

Ответ: $x = 5$.