Номер 24, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. По графику функции $y=|x|$ (см. рис. 5) найдите, при каких значениях $x$:

а) $|x|=3,5$;

б) $|x|<2$;

в) $|x| \ge 4$.

Каково наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Какова область значений функции?

а) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| = 3,5$. По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Следовательно, искомые значения $x$ находятся на расстоянии 3,5 от нуля. Таких чисел два: 3,5 и -3,5.
Ответ: $x = -3,5; 3,5$.

б) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| < 2$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть меньше 2. Этому условию удовлетворяют все числа, которые лежат строго между -2 и 2. В виде двойного неравенства это записывается как $-2 < x < 2$.
Ответ: $(-2; 2)$.

в) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| \ge 4$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть больше или равно 4. Этому условию удовлетворяют все числа, которые больше или равны 4, а также все числа, которые меньше или равны -4. Это можно записать как совокупность двух условий: $x \le -4$ или $x \ge 4$.
Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Каково наименьшее значение функции?
Наименьшее значение функции $y=|x|$ достигается в ее вершине, в точке $x=0$. Значение функции в этой точке равно $y(0)=|0|=0$. Так как модуль любого числа всегда неотрицателен, это значение является наименьшим.
Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.

Имеет ли она наибольшее значение?
Функция $y=|x|$ не имеет наибольшего значения. При неограниченном увеличении $x$ по модулю (т.е. при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает. Функция не ограничена сверху.
Ответ: Наибольшего значения не существует.

Какова область значений функции?
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно 0 и она может принимать любые сколь угодно большие положительные значения, то область значений — это все неотрицательные числа.
Ответ: $[0; +\infty)$.