Номер 18, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Найдите область значений функции:

а) $f(x) = 2x - 1$, где $1 \leq x \leq 4$;

б) $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \leq x \leq 5$.

а)

Дана функция $f(x) = 2x - 1$, где $1 \le x \le 4$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Угловой коэффициент (множитель при $x$) равен $2$. Так как угловой коэффициент $k = 2 > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($f(x)$).

Следовательно, свое наименьшее значение функция примет в наименьшей точке заданного отрезка, то есть при $x=1$, а наибольшее значение — в наибольшей точке, то есть при $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Минимальное значение: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
• Максимальное значение: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна, она принимает все значения между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции на отрезке $[1; 4]$ — это отрезок $[1; 7]$.

Ответ: $[1; 7]$

б)

Дана функция $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \le x \le 5$. Это также линейная функция. Ее угловой коэффициент равен $-3$. Так как угловой коэффициент $k = -3 < 0$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($g(x)$).

Следовательно, свое наибольшее значение функция примет в наименьшей точке заданного отрезка, то есть при $x=-2$, а наименьшее значение — в наибольшей точке, то есть при $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Максимальное значение: $g(-2) = -3 \cdot (-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.
• Минимальное значение: $g(5) = -3 \cdot 5 + 8 = -15 + 8 = -7$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна, она принимает все значения между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции на отрезке $[-2; 5]$ — это отрезок $[-7; 14]$.

Ответ: $[-7; 14]$