Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = x^2 + 2x$;

б) $y = \frac{x-1}{1+x}$;

в) $y = \sqrt{9+x}$?

Область определения функции (или домен) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена, то есть ее значение $y$ может быть вычислено.

а) $y = x^2 + 2x$

Данная функция является многочленом (в частности, квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 2x$ имеет смысл при любых действительных значениях $x$, так как в нем нет операций деления на переменную или извлечения корня четной степени из выражения, содержащего переменную. Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ не накладывается.

Ответ: Область определения — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \frac{x-1}{1+x}$

Эта функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его из области определения.

$1 + x = 0$

$x = -1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{9+x}$

Данная функция содержит арифметический квадратный корень. Выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Составим и решим соответствующее неравенство:

$9 + x \ge 0$

Перенесем 9 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge -9$

Следовательно, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -9.

Ответ: $D(y) = [-9; +\infty)$.