Номер 12, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через $t$ с. Глубина спуска $h$ м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости $30^{\circ}$. Выразите формулой зависимость $h$ от $t$, если скорость движения эскалатора равна $0,75$ м/с. Найдите:

a) $h$, если $t = 2,25$ мин;

б) $t$, если $h = 60$ м.

Для начала выведем формулу, связывающую глубину спуска $h$ и время спуска $t$.

Движение эскалатора, глубина спуска и горизонтальная проекция образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Длина пути, пройденного пассажиром по эскалатору ($L$), является гипотенузой.
• Глубина спуска ($h$) является катетом, противолежащим углу наклона эскалатора.
• Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости равен $30^\circ$.

Длина пути $L$, пройденного по эскалатору, связана со скоростью эскалатора $v$ и временем $t$ формулой:

$L = v \cdot t$

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что:

$\sin(30^\circ) = \frac{h}{L}$

Отсюда можно выразить глубину спуска $h$:

$h = L \cdot \sin(30^\circ)$

Теперь подставим выражение для $L$ в эту формулу:

$h = (v \cdot t) \cdot \sin(30^\circ)$

Подставим известные значения: скорость $v = 0,75$ м/с и $\sin(30^\circ) = 0,5$.

$h = (0,75 \cdot t) \cdot 0,5$

$h = 0,375t$

Это и есть искомая формула зависимости $h$ от $t$, где $t$ измеряется в секундах, а $h$ — в метрах.

a) Найти $h$, если $t = 2,25$ мин.

Сначала переведем время из минут в секунды, так как скорость дана в м/с:

$t = 2,25 \text{ мин} = 2,25 \cdot 60 \text{ с} = 135 \text{ с}$

Теперь подставим значение времени в нашу формулу:

$h = 0,375 \cdot 135$

$h = 50,625 \text{ м}$

Ответ: $h = 50,625$ м.

б) Найти $t$, если $h = 60$ м.

Воспользуемся выведенной формулой $h = 0,375t$ и выразим из нее время $t$:

$t = \frac{h}{0,375}$

Подставим известное значение глубины $h = 60$ м:

$t = \frac{60}{0,375}$

$t = 160 \text{ с}$

Можно также перевести секунды в минуты и секунды: $160 \text{ с} = 2 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Ответ: $t = 160$ с (или 2 минуты 40 секунд).