Номер 19, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Укажите область определения и область значений каждой из функций $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$ (см. рис. 4).

a) $y = x^2$

б) $y = x^3$

в) $y = \sqrt{x}$

Рис. 4

а) Для функции $y = x^2$ (квадратичная парабола):

Область определения — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Выражение $x^2$ определено для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения — это все действительные числа. На графике видно, что парабола простирается бесконечно влево и вправо по оси $x$.

Область значений — это множество всех значений, которые принимает $y$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Самое меньшее значение функции равно 0 (в вершине параболы при $x=0$), а вверх ветви параболы уходят в бесконечность. Таким образом, область значений — это все неотрицательные числа.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[0; +\infty)$.

б) Для функции $y = x^3$ (кубическая парабола):

Область определения: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом, так как операция возведения в третью степень определена для любого числа. График функции простирается бесконечно влево и вправо. Таким образом, область определения — это все действительные числа.

Область значений: Функция $y = x^3$ может принимать любое действительное значение. В отличие от $x^2$, куб отрицательного числа является отрицательным. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, $y$ также изменяется от $-\infty$ до $+\infty$. График функции уходит бесконечно и вверх, и вниз. Таким образом, область значений — это все действительные числа.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt{x}$:

Область определения: Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: $x \ge 0$. График функции начинается в точке $(0,0)$ и идет вправо по оси $x$. Таким образом, область определения — это луч $[0; +\infty)$.

Область значений: По определению, арифметический квадратный корень из числа — это всегда неотрицательное значение, то есть $y = \sqrt{x} \ge 0$. График функции начинается в точке $(0,0)$ и идет вверх по оси $y$. Таким образом, область значений — это также луч $[0; +\infty)$.

Ответ: область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[0; +\infty)$.