Номер 20, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Найдите область определения и область значений функции

$y = \frac{x^2}{x^2+1}$

Область определения

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 1$ обращается в ноль:

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда строго положительно (а именно, $x^2 + 1 \ge 1$).

Поскольку знаменатель никогда не обращается в ноль, функция определена для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.

Способ 1: Оценка выражения

1. Так как $x^2 \ge 0$ и знаменатель $x^2 + 1 > 0$, их частное всегда неотрицательно: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$. Значение $y=0$ достигается при $x=0$.

2. Преобразуем выражение для $y$: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$. Поскольку $x^2+1 \ge 1$, то $0 < \frac{1}{x^2+1} \le 1$. Следовательно, $y = 1 - \frac{1}{x^2+1}$ всегда меньше 1. Таким образом, $y < 1$.

Объединяя два условия, получаем $0 \le y < 1$.

Способ 2: Выражение $x$ через $y$

Выразим $x^2$ из исходного уравнения:

$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

$y(x^2 + 1) = x^2$

$yx^2 + y = x^2$

$y = x^2 - yx^2$

$y = x^2(1 - y)$

Заметим, что $y \neq 1$, иначе уравнение примет вид $1 = 0$, что неверно. Тогда можно выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{y}{1 - y}$

Поскольку $x$ — действительное число, $x^2$ должно быть неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно:

$\frac{y}{1 - y} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $y=0$ и $y=1$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Проверяя знаки на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$, находим, что дробь неотрицательна только при $0 \le y < 1$. Точка $y=0$ включается, так как неравенство нестрогое, а точка $y=1$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: $E(y) = [0; 1)$.