Номер 25, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1,5 \le x \le 6$.

Какова область значений функции?

a) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$

1. Составление таблицы значений.

Для построения графика функции $y = x^3 - 8x$ на отрезке $[-3, 3]$ составим таблицу значений. Для большей точности, помимо целочисленных значений, найдем точки локальных экстремумов. Для этого найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 8x)' = 3x^2 - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3} \approx \pm1.63$

Эти точки принадлежат отрезку $[-3, 3]$. Вычислим значения функции в этих точках, на концах отрезка и в некоторых целых точках.

• $y(-3) = (-3)^3 - 8(-3) = -27 + 24 = -3$
• $y(-2) = (-2)^3 - 8(-2) = -8 + 16 = 8$
• $y(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = \frac{32\sqrt{6}}{9} \approx 8.71$ (локальный максимум)
• $y(-1) = (-1)^3 - 8(-1) = -1 + 8 = 7$
• $y(0) = 0^3 - 8(0) = 0$
• $y(1) = 1^3 - 8(1) = 1 - 8 = -7$
• $y(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = -\frac{32\sqrt{6}}{9} \approx -8.71$ (локальный минимум)
• $y(2) = 2^3 - 8(2) = 8 - 16 = -8$
• $y(3) = 3^3 - 8(3) = 27 - 24 = 3$

Таблица значений:

2. Построение графика.

На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой. График является фрагментом кубической параболы. Он возрастает на отрезке $[-3, -\frac{2\sqrt{6}}{3}]$, убывает на $[-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}]$ и снова возрастает на $[\frac{2\sqrt{6}}{3}, 3]$.

3. Нахождение области значений.

Область значений функции на отрезке — это множество всех значений от наименьшего до наибольшего. Сравним значения функции на концах отрезка и в точках экстремумов:

$y(-3) = -3$; $y(3) = 3$; $y_{max\_local} \approx 8.71$; $y_{min\_local} \approx -8.71$.

Наибольшее значение на отрезке: $\max( -3, 3, 8.71, -8.71) = 8.71 = \frac{32\sqrt{6}}{9}$.
Наименьшее значение на отрезке: $\min( -3, 3, 8.71, -8.71) = -8.71 = -\frac{32\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}]$.

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1.5 \le x \le 6$

1. Составление таблицы значений.

Функция представляет собой ветвь гиперболы. Составим таблицу значений, вычисляя значения $y$ для нескольких точек $x$ из отрезка $[-1.5, 6]$.

2. Построение графика.

На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной убывающей кривой. График является частью гиперболы. На заданном отрезке $[-1.5, 6]$ функция непрерывна. Производная $y' = -\frac{4}{(x+2)^2}$ всегда отрицательна в области определения, следовательно, функция монотонно убывает на всем отрезке.

3. Нахождение области значений.

Поскольку функция монотонно убывает на отрезке $[-1.5, 6]$, ее наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y(-1.5) = \frac{4}{-1.5+2} = \frac{4}{0.5} = 8$.

Наименьшее значение: $y(6) = \frac{4}{6+2} = \frac{4}{8} = 0.5$.

Таким образом, область значений функции — это все числа от 0.5 до 8 включительно.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0.5, 8]$.