Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. По графику функции $y=|x|$ (см. рис. 5) найдите, при каких значениях $x$:

а) $|x|=3,5$;

б) $|x|<2$;

в) $|x| \ge 4$.

Каково наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Какова область значений функции?

а) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| = 3,5$. По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Следовательно, искомые значения $x$ находятся на расстоянии 3,5 от нуля. Таких чисел два: 3,5 и -3,5.
Ответ: $x = -3,5; 3,5$.

б) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| < 2$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть меньше 2. Этому условию удовлетворяют все числа, которые лежат строго между -2 и 2. В виде двойного неравенства это записывается как $-2 < x < 2$.
Ответ: $(-2; 2)$.

в) Необходимо найти значения $x$, для которых $|x| \ge 4$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля должно быть больше или равно 4. Этому условию удовлетворяют все числа, которые больше или равны 4, а также все числа, которые меньше или равны -4. Это можно записать как совокупность двух условий: $x \le -4$ или $x \ge 4$.
Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Каково наименьшее значение функции?
Наименьшее значение функции $y=|x|$ достигается в ее вершине, в точке $x=0$. Значение функции в этой точке равно $y(0)=|0|=0$. Так как модуль любого числа всегда неотрицателен, это значение является наименьшим.
Ответ: Наименьшее значение функции равно 0.

Имеет ли она наибольшее значение?
Функция $y=|x|$ не имеет наибольшего значения. При неограниченном увеличении $x$ по модулю (т.е. при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает. Функция не ограничена сверху.
Ответ: Наибольшего значения не существует.

Какова область значений функции?
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно 0 и она может принимать любые сколь угодно большие положительные значения, то область значений — это все неотрицательные числа.
Ответ: $[0; +\infty)$.

25. Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1,5 \le x \le 6$.

Какова область значений функции?

a) $y = x^3 - 8x$, где $-3 \le x \le 3$

1. Составление таблицы значений.

Для построения графика функции $y = x^3 - 8x$ на отрезке $[-3, 3]$ составим таблицу значений. Для большей точности, помимо целочисленных значений, найдем точки локальных экстремумов. Для этого найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 8x)' = 3x^2 - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{3} \approx \pm1.63$

Эти точки принадлежат отрезку $[-3, 3]$. Вычислим значения функции в этих точках, на концах отрезка и в некоторых целых точках.

• $y(-3) = (-3)^3 - 8(-3) = -27 + 24 = -3$
• $y(-2) = (-2)^3 - 8(-2) = -8 + 16 = 8$
• $y(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(-\frac{2\sqrt{6}}{3}) = \frac{32\sqrt{6}}{9} \approx 8.71$ (локальный максимум)
• $y(-1) = (-1)^3 - 8(-1) = -1 + 8 = 7$
• $y(0) = 0^3 - 8(0) = 0$
• $y(1) = 1^3 - 8(1) = 1 - 8 = -7$
• $y(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 - 8(\frac{2\sqrt{6}}{3}) = -\frac{32\sqrt{6}}{9} \approx -8.71$ (локальный минимум)
• $y(2) = 2^3 - 8(2) = 8 - 16 = -8$
• $y(3) = 3^3 - 8(3) = 27 - 24 = 3$

Таблица значений:

2. Построение графика.

На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной кривой. График является фрагментом кубической параболы. Он возрастает на отрезке $[-3, -\frac{2\sqrt{6}}{3}]$, убывает на $[-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}]$ и снова возрастает на $[\frac{2\sqrt{6}}{3}, 3]$.

3. Нахождение области значений.

Область значений функции на отрезке — это множество всех значений от наименьшего до наибольшего. Сравним значения функции на концах отрезка и в точках экстремумов:

$y(-3) = -3$; $y(3) = 3$; $y_{max\_local} \approx 8.71$; $y_{min\_local} \approx -8.71$.

Наибольшее значение на отрезке: $\max( -3, 3, 8.71, -8.71) = 8.71 = \frac{32\sqrt{6}}{9}$.
Наименьшее значение на отрезке: $\min( -3, 3, 8.71, -8.71) = -8.71 = -\frac{32\sqrt{6}}{9}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-\frac{32\sqrt{6}}{9}, \frac{32\sqrt{6}}{9}]$.

б) $y = \frac{4}{x+2}$, где $-1.5 \le x \le 6$

1. Составление таблицы значений.

Функция представляет собой ветвь гиперболы. Составим таблицу значений, вычисляя значения $y$ для нескольких точек $x$ из отрезка $[-1.5, 6]$.

2. Построение графика.

На координатной плоскости отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной убывающей кривой. График является частью гиперболы. На заданном отрезке $[-1.5, 6]$ функция непрерывна. Производная $y' = -\frac{4}{(x+2)^2}$ всегда отрицательна в области определения, следовательно, функция монотонно убывает на всем отрезке.

3. Нахождение области значений.

Поскольку функция монотонно убывает на отрезке $[-1.5, 6]$, ее наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y(-1.5) = \frac{4}{-1.5+2} = \frac{4}{0.5} = 8$.

Наименьшее значение: $y(6) = \frac{4}{6+2} = \frac{4}{8} = 0.5$.

Таким образом, область значений функции — это все числа от 0.5 до 8 включительно.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0.5, 8]$.

26. На рисунке 10 изображён график изменения уровня воды в реке относительно нулевой отметки. Опишите, как происходило изменение уровня воды.

$h, дм$

$t, дн.$

Рис. 10

Анализируя представленный график, можно выделить три основных этапа изменения уровня воды в реке в зависимости от времени. На горизонтальной оси отложено время $t$ в днях (дн.), а на вертикальной — уровень воды $h$ в дециметрах (дм) относительно нулевой отметки.

Период подъема воды (с 0 по 6-й день)

В начальный момент времени ($t=0$) уровень воды находился на нулевой отметке. В течение последующих шести дней он непрерывно повышался. Скорость подъема была непостоянной: примерно до 3-го дня она увеличивалась (подъем становился все более резким), а после 3-го дня — уменьшалась (подъем замедлялся). Наиболее интенсивный рост наблюдался в районе третьего дня.

Максимальный уровень воды (около 6-го дня)

Примерно на 6-й день наблюдения уровень воды достиг своего максимального значения. Максимальная высота составила приблизительно $h_{max} \approx 6.2$ дм. Этот момент соответствует пику паводка.

Период спада воды (после 6-го дня)

После достижения пикового значения уровень воды начал постепенно снижаться. Начиная с 6-го дня и до конца наблюдаемого периода (12 дней), вода убывала с практически постоянной скоростью, так как этот участок графика близок к прямой линии. К 12-му дню уровень воды опустился до отметки примерно в 4 дм.

Ответ: В период с 0 по 6-й день уровень воды в реке поднимался, достигнув своей максимальной отметки около 6.2 дм примерно на 6-й день; при этом скорость подъема сначала увеличивалась (до 3-го дня), а затем уменьшалась. После 6-го дня начался постепенный и равномерный спад уровня воды.