Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Постройте график функции, заданной формулой:

a) $f(x) = 1,5 - 3x;$

б) $f(x) = 4,5x;$

в) $f(x) = \frac{10}{x};$

г) $f(x) = -\frac{1}{x}.$

Укажите область определения и область значений функции.

Рис. 8

17.

а) Функция $f(x) = 1,5 - 3x$ — это линейная функция. Её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Если $x = 0$, то $f(0) = 1,5 - 3 \cdot 0 = 1,5$. Получаем точку (0; 1,5).

2. Если $x = 1$, то $f(1) = 1,5 - 3 \cdot 1 = -1,5$. Получаем точку (1; -1,5).

Проводим прямую через эти две точки.

Область определения $D(f)$: так как функция линейная, она определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: функция может принимать любые действительные значения, то есть $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График — прямая, проходящая через точки (0; 1,5) и (1; -1,5). Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $f(x) = 4,5x$ — это прямая пропорциональность (частный случай линейной функции). Её график — прямая линия, проходящая через начало координат (0; 0).

Для построения найдем еще одну точку. Если $x=1$, то $f(1) = 4,5 \cdot 1 = 4,5$. Получаем точку (1; 4,5).

Проводим прямую через точки (0; 0) и (1; 4,5).

Область определения $D(f)$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 4,5). Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Функция $f(x) = \frac{10}{x}$ — это обратная пропорциональность. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k=10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Найдем несколько точек для построения:
Для первой ветви (I четверть): (2; 5), (5; 2), (1; 10).
Для второй ветви (III четверть): (-2; -5), (-5; -2), (-1; -10).

Область определения $D(f)$: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: значение функции никогда не будет равно нулю. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) Функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ — это обратная пропорциональность. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Найдем несколько точек для построения:
Для первой ветви (II четверть): (-1; 1), (-2; 0,5), (-0,5; 2).
Для второй ветви (IV четверть): (1; -1), (2; -0,5), (0,5; -2).

Область определения $D(f)$: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: $y \neq 0$, то есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

18.

а) Дана функция $f(x) = 2x - 1$, где $1 \le x \le 4$.

Это линейная функция, её угловой коэффициент $k=2 > 0$, следовательно, функция возрастает на всей области определения. Это значит, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

1. Наименьшее значение: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

2. Наибольшее значение: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $E(f) = [1; 7]$.

б) Дана функция $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \le x \le 5$.

Это линейная функция, её угловой коэффициент $k=-3 < 0$, следовательно, функция убывает на всей области определения. Это значит, что наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

1. Наибольшее значение: $g(-2) = -3(-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.

2. Наименьшее значение: $g(5) = -3(5) + 8 = -15 + 8 = -7$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $E(g) = [-7; 14]$.

18. Найдите область значений функции:

а) $f(x) = 2x - 1$, где $1 \leq x \leq 4$;

б) $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \leq x \leq 5$.

а)

Дана функция $f(x) = 2x - 1$, где $1 \le x \le 4$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Угловой коэффициент (множитель при $x$) равен $2$. Так как угловой коэффициент $k = 2 > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($f(x)$).

Следовательно, свое наименьшее значение функция примет в наименьшей точке заданного отрезка, то есть при $x=1$, а наибольшее значение — в наибольшей точке, то есть при $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Минимальное значение: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
• Максимальное значение: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна, она принимает все значения между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции на отрезке $[1; 4]$ — это отрезок $[1; 7]$.

Ответ: $[1; 7]$

б)

Дана функция $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \le x \le 5$. Это также линейная функция. Ее угловой коэффициент равен $-3$. Так как угловой коэффициент $k = -3 < 0$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($g(x)$).

Следовательно, свое наибольшее значение функция примет в наименьшей точке заданного отрезка, то есть при $x=-2$, а наименьшее значение — в наибольшей точке, то есть при $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• Максимальное значение: $g(-2) = -3 \cdot (-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.
• Минимальное значение: $g(5) = -3 \cdot 5 + 8 = -15 + 8 = -7$.

Поскольку функция непрерывна и монотонна, она принимает все значения между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции на отрезке $[-2; 5]$ — это отрезок $[-7; 14]$.

Ответ: $[-7; 14]$

19. Укажите область определения и область значений каждой из функций $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$ (см. рис. 4).

a) $y = x^2$

б) $y = x^3$

в) $y = \sqrt{x}$

Рис. 4

а) Для функции $y = x^2$ (квадратичная парабола):

Область определения — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Выражение $x^2$ определено для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения — это все действительные числа. На графике видно, что парабола простирается бесконечно влево и вправо по оси $x$.

Область значений — это множество всех значений, которые принимает $y$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Самое меньшее значение функции равно 0 (в вершине параболы при $x=0$), а вверх ветви параболы уходят в бесконечность. Таким образом, область значений — это все неотрицательные числа.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[0; +\infty)$.

б) Для функции $y = x^3$ (кубическая парабола):

Область определения: Аргумент $x$ может быть любым действительным числом, так как операция возведения в третью степень определена для любого числа. График функции простирается бесконечно влево и вправо. Таким образом, область определения — это все действительные числа.

Область значений: Функция $y = x^3$ может принимать любое действительное значение. В отличие от $x^2$, куб отрицательного числа является отрицательным. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, $y$ также изменяется от $-\infty$ до $+\infty$. График функции уходит бесконечно и вверх, и вниз. Таким образом, область значений — это все действительные числа.

Ответ: область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt{x}$:

Область определения: Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: $x \ge 0$. График функции начинается в точке $(0,0)$ и идет вправо по оси $x$. Таким образом, область определения — это луч $[0; +\infty)$.

Область значений: По определению, арифметический квадратный корень из числа — это всегда неотрицательное значение, то есть $y = \sqrt{x} \ge 0$. График функции начинается в точке $(0,0)$ и идет вверх по оси $y$. Таким образом, область значений — это также луч $[0; +\infty)$.

Ответ: область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[0; +\infty)$.

20. Найдите область определения и область значений функции

$y = \frac{x^2}{x^2+1}$

Область определения

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2 + 1$ обращается в ноль:

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда строго положительно (а именно, $x^2 + 1 \ge 1$).

Поскольку знаменатель никогда не обращается в ноль, функция определена для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.

Способ 1: Оценка выражения

1. Так как $x^2 \ge 0$ и знаменатель $x^2 + 1 > 0$, их частное всегда неотрицательно: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$. Значение $y=0$ достигается при $x=0$.

2. Преобразуем выражение для $y$: $y = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$. Поскольку $x^2+1 \ge 1$, то $0 < \frac{1}{x^2+1} \le 1$. Следовательно, $y = 1 - \frac{1}{x^2+1}$ всегда меньше 1. Таким образом, $y < 1$.

Объединяя два условия, получаем $0 \le y < 1$.

Способ 2: Выражение $x$ через $y$

Выразим $x^2$ из исходного уравнения:

$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

$y(x^2 + 1) = x^2$

$yx^2 + y = x^2$

$y = x^2 - yx^2$

$y = x^2(1 - y)$

Заметим, что $y \neq 1$, иначе уравнение примет вид $1 = 0$, что неверно. Тогда можно выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{y}{1 - y}$

Поскольку $x$ — действительное число, $x^2$ должно быть неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно:

$\frac{y}{1 - y} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $y=0$ и $y=1$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Проверяя знаки на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$, находим, что дробь неотрицательна только при $0 \le y < 1$. Точка $y=0$ включается, так как неравенство нестрогое, а точка $y=1$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: $E(y) = [0; 1)$.

21. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины $x$ (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и область значений этой функции.

1. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть длина боковой стороны равна $x$ см, а длина основания, согласно условию, составляет 20 см.Тогда формула периметра $P$ в зависимости от $x$ будет следующей:$P(x) = x + x + 20$$P(x) = 2x + 20$

Ответ: $P(x) = 2x + 20$.

2. Укажите область определения этой функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:

а) Неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для нашего треугольника со сторонами $x$, $x$ и 20 достаточно проверить одно основное неравенство:$x + x > 20$$2x > 20$$x > 10$(Два других неравенства, $x + 20 > x$, очевидно выполняются для любого положительного $x$).

б) Условие на периметр: периметр треугольника не превосходит 100 см.$P(x) \le 100$$2x + 20 \le 100$$2x \le 100 - 20$$2x \le 80$$x \le 40$

Объединив оба условия, получаем систему:$\begin{cases} x > 10 \\ x \le 40 \end{cases}$Следовательно, область определения функции $D(P)$ — это полуинтервал от 10 (не включая) до 40 (включая).

Ответ: $D(P) = (10; 40]$.

3. Укажите область значений этой функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $P(x)$ при $x$, принадлежащем области определения.Функция $P(x) = 2x + 20$ является линейной и возрастающей (коэффициент при $x$ равен 2, что больше нуля). Поэтому, чтобы найти область значений, нужно подставить в функцию граничные значения из области определения $x \in (10; 40]$.

Найдем нижнюю границу для периметра (она не будет достигаться, так как $x > 10$):$P(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40$Поскольку $x > 10$, то $P(x) > 40$.

Найдем верхнюю границу для периметра (она будет достигаться, так как $x \le 40$):$P(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100$Поскольку $x \le 40$, то $P(x) \le 100$.

Таким образом, область значений функции $E(P)$ — это полуинтервал от 40 (не включая) до 100 (включая).

Ответ: $E(P) = (40; 100]$.

22. На рисунке 8 изображён график одной из функций, заданных формулами $y = x - 1$, $y = 1 + x$, $y = 2x - 1$, $y = 1 - 2x$. Выясните, какой именно.

Рис. 8

Для того чтобы определить, какая из предложенных формул соответствует графику, проанализируем ключевые характеристики изображенной прямой. Все предложенные функции являются линейными и имеют общий вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.

1. Анализ по точке пересечения с осью Oy.

Из графика видно, что прямая пересекает ось ординат ($Oy$) в точке, где $y = -1$. Это означает, что свободный коэффициент $b$ в уравнении прямой равен $-1$. Рассмотрим предложенные варианты:

• $y = x - 1$: здесь $b = -1$. Этот вариант возможен.
• $y = 1 + x$: здесь $b = 1$. Этот вариант не подходит.
• $y = 2x - 1$: здесь $b = -1$. Этот вариант возможен.
• $y = 1 - 2x$: здесь $b = 1$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, правильный ответ — это либо $y = x - 1$, либо $y = 2x - 1$.

2. Анализ по угловому коэффициенту $k$.

Угловой коэффициент $k$ можно найти, используя две точки на графике. Одна точка нам уже известна — это точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -1)$. В качестве второй точки возьмем другую точку, через которую точно проходит график. Из рисунка видно, что прямая проходит через точку с координатами $(1, 1)$.

Вычислим угловой коэффициент по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, где $(x_1, y_1) = (0, -1)$ и $(x_2, y_2) = (1, 1)$:

$k = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.

Следовательно, угловой коэффициент прямой равен 2. Сравним это с оставшимися вариантами:

• $y = x - 1$: здесь $k = 1$. Не подходит.
• $y = 2x - 1$: здесь $k = 2$. Подходит.

Таким образом, график на рисунке соответствует функции $y = 2x - 1$.

Ответ: $y = 2x - 1$

23. На рисунке 9 изображены графики функций, заданных формулами $y = \frac{x}{2}$, $y = \frac{2}{x}$, $y = 2 - \frac{x}{2}$, $y = -\frac{2}{x}$. Для каждой функции укажите соответствующий график.

1.

2.

3.

4.

Рис. 9

Проанализируем каждую функцию и сопоставим ее с соответствующим графиком.

$y = \frac{x}{2}$

Это линейная функция вида $y=kx+b$. В данном случае коэффициент (угловой коэффициент) $k = \frac{1}{2}$ и свободный член $b=0$.

• Поскольку $k = \frac{1}{2} > 0$, функция является возрастающей, то есть ее график направлен вверх при движении слева направо.
• Поскольку $b=0$, график функции проходит через начало координат, точку $(0,0)$.

Этим характеристикам соответствует график под номером 3.

Ответ: 3

$y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=2$.

• Графиком такой функции является гипербола.
• Поскольку $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Этим характеристикам соответствует график под номером 2.

Ответ: 2

$y = 2 - \frac{x}{2}$

Это линейная функция вида $y=kx+b$. Ее можно переписать как $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Здесь коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ и свободный член $b=2$.

• Поскольку $k = -\frac{1}{2} < 0$, функция является убывающей, то есть ее график направлен вниз при движении слева направо.
• Поскольку $b=2$, график функции пересекает ось ординат (ось $y$) в точке $(0,2)$.

Этим характеристикам соответствует график под номером 4.

Ответ: 4

$y = -\frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-2$.

• Графиком такой функции является гипербола.
• Поскольку $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Этим характеристикам соответствует график под номером 1.

Ответ: 1