Номер 17, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Постройте график функции, заданной формулой:

a) $f(x) = 1,5 - 3x;$

б) $f(x) = 4,5x;$

в) $f(x) = \frac{10}{x};$

г) $f(x) = -\frac{1}{x}.$

Укажите область определения и область значений функции.

Рис. 8

17.

а) Функция $f(x) = 1,5 - 3x$ — это линейная функция. Её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Если $x = 0$, то $f(0) = 1,5 - 3 \cdot 0 = 1,5$. Получаем точку (0; 1,5).

2. Если $x = 1$, то $f(1) = 1,5 - 3 \cdot 1 = -1,5$. Получаем точку (1; -1,5).

Проводим прямую через эти две точки.

Область определения $D(f)$: так как функция линейная, она определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: функция может принимать любые действительные значения, то есть $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График — прямая, проходящая через точки (0; 1,5) и (1; -1,5). Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $f(x) = 4,5x$ — это прямая пропорциональность (частный случай линейной функции). Её график — прямая линия, проходящая через начало координат (0; 0).

Для построения найдем еще одну точку. Если $x=1$, то $f(1) = 4,5 \cdot 1 = 4,5$. Получаем точку (1; 4,5).

Проводим прямую через точки (0; 0) и (1; 4,5).

Область определения $D(f)$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: График — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 4,5). Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Функция $f(x) = \frac{10}{x}$ — это обратная пропорциональность. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k=10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Найдем несколько точек для построения:
Для первой ветви (I четверть): (2; 5), (5; 2), (1; 10).
Для второй ветви (III четверть): (-2; -5), (-5; -2), (-1; -10).

Область определения $D(f)$: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: значение функции никогда не будет равно нулю. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) Функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ — это обратная пропорциональность. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Найдем несколько точек для построения:
Для первой ветви (II четверть): (-1; 1), (-2; 0,5), (-0,5; 2).
Для второй ветви (IV четверть): (1; -1), (2; -0,5), (0,5; -2).

Область определения $D(f)$: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений $E(f)$: $y \neq 0$, то есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

18.

а) Дана функция $f(x) = 2x - 1$, где $1 \le x \le 4$.

Это линейная функция, её угловой коэффициент $k=2 > 0$, следовательно, функция возрастает на всей области определения. Это значит, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

1. Наименьшее значение: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

2. Наибольшее значение: $f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $E(f) = [1; 7]$.

б) Дана функция $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \le x \le 5$.

Это линейная функция, её угловой коэффициент $k=-3 < 0$, следовательно, функция убывает на всей области определения. Это значит, что наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

1. Наибольшее значение: $g(-2) = -3(-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.

2. Наименьшее значение: $g(5) = -3(5) + 8 = -15 + 8 = -7$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $E(g) = [-7; 14]$.