Номер 14, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{|x+1|+4}$;

б) $y = \frac{48}{|x|-2}$;

в) $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$;

г) $y = \sqrt{|2-x|-3x}$.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) $y = \frac{5}{|x+1|+4}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Основное ограничение для дроби — знаменатель не должен быть равен нулю.

Запишем это условие: $|x+1|+4 \neq 0$.

Выражение $|x+1|$ — это модуль, который по определению всегда неотрицателен, то есть $|x+1| \ge 0$ для любого действительного значения $x$.

Следовательно, знаменатель дроби $|x+1|+4$ всегда будет больше или равен $0+4=4$.

Поскольку знаменатель всегда положителен (больше или равен 4), он никогда не может быть равен нулю. Таким образом, ограничений на значения $x$ нет.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \frac{48}{|x|-2}$

Эта функция также является дробью, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

Запишем условие: $|x|-2 \neq 0$.

Решим это неравенство:

$|x| \neq 2$

Это уравнение означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $2$ и $-2$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$

Эта функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Слагаемое $x^2$ определено для всех действительных чисел и не накладывает ограничений.

Запишем условие для подкоренного выражения: $|x|-1 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$|x| \ge 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Следовательно, функция определена для всех $x$, которые меньше или равны $-1$, а также для всех $x$, которые больше или равны $1$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{|2-x|} - 3x$

В этой функции также есть квадратный корень. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Слагаемое $-3x$ определено для всех действительных чисел и не вносит ограничений.

Запишем условие: $|2-x| \ge 0$.

По определению, модуль любого числа (или выражения) всегда является неотрицательной величиной. То есть, $|2-x|$ всегда больше или равно нулю при любом действительном значении $x$.

Таким образом, никаких ограничений на значения $x$ данное условие не накладывает.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.