Номер 21, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины $x$ (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и область значений этой функции.

1. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть длина боковой стороны равна $x$ см, а длина основания, согласно условию, составляет 20 см.Тогда формула периметра $P$ в зависимости от $x$ будет следующей:$P(x) = x + x + 20$$P(x) = 2x + 20$

Ответ: $P(x) = 2x + 20$.

2. Укажите область определения этой функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:

а) Неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для нашего треугольника со сторонами $x$, $x$ и 20 достаточно проверить одно основное неравенство:$x + x > 20$$2x > 20$$x > 10$(Два других неравенства, $x + 20 > x$, очевидно выполняются для любого положительного $x$).

б) Условие на периметр: периметр треугольника не превосходит 100 см.$P(x) \le 100$$2x + 20 \le 100$$2x \le 100 - 20$$2x \le 80$$x \le 40$

Объединив оба условия, получаем систему:$\begin{cases} x > 10 \\ x \le 40 \end{cases}$Следовательно, область определения функции $D(P)$ — это полуинтервал от 10 (не включая) до 40 (включая).

Ответ: $D(P) = (10; 40]$.

3. Укажите область значений этой функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $P(x)$ при $x$, принадлежащем области определения.Функция $P(x) = 2x + 20$ является линейной и возрастающей (коэффициент при $x$ равен 2, что больше нуля). Поэтому, чтобы найти область значений, нужно подставить в функцию граничные значения из области определения $x \in (10; 40]$.

Найдем нижнюю границу для периметра (она не будет достигаться, так как $x > 10$):$P(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40$Поскольку $x > 10$, то $P(x) > 40$.

Найдем верхнюю границу для периметра (она будет достигаться, так как $x \le 40$):$P(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100$Поскольку $x \le 40$, то $P(x) \le 100$.

Таким образом, область значений функции $E(P)$ — это полуинтервал от 40 (не включая) до 100 (включая).

Ответ: $E(P) = (40; 100]$.