Номер 15, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. На рисунке 6 изображён график функции $y = g(x)$, областью определения которой служит отрезок $[-6; 5]$. С помощью графика найдите:

а) $g(-4)$, $g(-1)$, $g(1)$, $g(5)$;

б) значения $x$, при которых $g(x) = 4$, $g(x) = -4$, $g(x) = 0$;

в) наибольшее и наименьшее значения функции;

г) область значений функции.

Рис. 6

а) g(-4), g(-1), g(1), g(5)

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить её ординату (координату $y$).

- Для $x = -4$: находим на оси $Ox$ точку -4, поднимаемся/опускаемся до пересечения с графиком. Это точка $(-4, -3)$. Значит, $g(-4) = -3$.
- Для $x = -1$: находим на оси $Ox$ точку -1. Точка на графике $(-1, 0)$. Значит, $g(-1) = 0$.
- Для $x = 1$: находим на оси $Ox$ точку 1. Точка на графике $(1, 2)$. Значит, $g(1) = 2$.
- Для $x = 5$: находим на оси $Ox$ точку 5. Точка на графике $(5, 2)$. Значит, $g(5) = 2$.

Ответ: $g(-4) = -3$, $g(-1) = 0$, $g(1) = 2$, $g(5) = 2$.

б) значения x, при которых g(x) = 4, g(x) = -4, g(x) = 0

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $g(x)$ равна определённому числу, нужно найти на оси $Oy$ это число, провести мысленно горизонтальную линию и определить абсциссы (координаты $x$) всех точек пересечения этой линии с графиком.

- $g(x) = 4$: проводим горизонтальную линию $y = 4$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна 3. Значит, $x = 3$.
- $g(x) = -4$: проводим горизонтальную линию $y = -4$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна -3. Значит, $x = -3$.
- $g(x) = 0$: линия $y=0$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$). График пересекает ось $Ox$ в двух точках, абсциссы которых равны -1 и 0. Значит, $x = -1$ и $x = 0$.

Ответ: $g(x) = 4$ при $x = 3$; $g(x) = -4$ при $x = -3$; $g(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 0$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее значение функции — это ордината самой высокой точки графика, а наименьшее — ордината самой низкой точки.

- Самая высокая точка на графике имеет координаты $(3, 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4. - Самая низкая точка на графике имеет координаты $(-3, -4)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -4.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение функции равно -4.

г) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Для непрерывной функции это промежуток между её наименьшим и наибольшим значениями.

Из пункта (в) мы знаем, что наименьшее значение функции равно -4, а наибольшее равно 4. График представляет собой непрерывную кривую, поэтому функция принимает все значения между -4 и 4 включительно.

Ответ: $[-4; 4]$.