Номер 9, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 4x - 8$;

б) $y = x^2 - 5x + 1$;

в) $y = \frac{2x}{5 - x}$;

г) $y = \frac{3}{(x - 4)(x + 1)}$;

д) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

е) $y = \sqrt{x - 5}$.

а) Функция $y = 4x - 8$ является линейной. Линейные функции, как и все многочлены, определены для любых действительных значений аргумента $x$, так как для вычисления значения функции выполняются только операции умножения и вычитания, которые определены для всех действительных чисел. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = x^2 - 5x + 1$ является квадратичной (многочлен второй степени). Как и любая полиномиальная функция, она определена для всех действительных значений $x$. Нет операций, которые могли бы привести к неопределенности (деление на ноль, извлечение корня из отрицательного числа).

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{2x}{5-x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции ограничена условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $5 - x = 0$, откуда $x = 5$. Следовательно, функция не определена в точке $x = 5$. Область определения — все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \neq 5$, или $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $(x - 4)(x + 1) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда $x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$, что дает $x = 4$ или $x = -1$. Таким образом, функция не определена в точках $x = 4$ и $x = -1$. Область определения — все действительные числа, кроме -1 и 4.

Ответ: $x \neq -1$ и $x \neq 4$, или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{1}{x^2+1}$ является дробно-рациональной. Проверим, может ли знаменатель быть равен нулю, решив уравнение $x^2 + 1 = 0$. Отсюда $x^2 = -1$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$). Знаменатель никогда не обращается в ноль. Поэтому ограничений на область определения нет.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) Функция $y = \sqrt{x-5}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным. Решим неравенство: $x - 5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$. Область определения функции — это все действительные числа, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \ge 5$, или $x \in [5; +\infty)$.