Номер 10, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Приведите пример функции, область определения которой:

а) множество всех чисел;

б) множество всех чисел, кроме 7.

а) множество всех чисел;
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена. Чтобы функция была определена для всех действительных чисел, в ее формуле не должно быть операций, накладывающих ограничения. К таким операциям относятся, например, деление на выражение, которое может обратиться в ноль, или извлечение корня четной степени из отрицательного числа.
Самыми простыми примерами функций, область определения которых — все числа, являются многочлены (линейные, квадратичные и т.д.).
Рассмотрим линейную функцию $y = 2x + 1$. Для любого действительного значения $x$ мы можем выполнить операции умножения на 2 и сложения с 1, и всегда получим определенное числовое значение $y$. Ограничений на $x$ нет.
Таким образом, область определения этой функции — множество всех чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: $y = 2x + 1$ (или любая другая полиномиальная функция, например, $y = x^2$ или $y = 10$).

б) множество всех чисел, кроме 7.
Чтобы исключить из области определения одно конкретное число, в данном случае 7, нужно создать условие, при котором вычисление функции становится невозможным именно при $x=7$. Самый распространенный способ — использовать деление, где знаменатель обращается в ноль в этой точке.
Составим выражение, которое равно нулю при $x=7$. Таким выражением является $x - 7$.
Теперь поместим это выражение в знаменатель дроби. В числитель можно поставить любое число, не равное нулю, или выражение, которое определено при $x=7$.
Возьмем функцию $y = \frac{1}{x-7}$.
Эта функция определена тогда и только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю:
$x - 7 \neq 0$
$x \neq 7$
Следовательно, область определения этой функции — это множество всех действительных чисел, кроме числа 7. Это можно записать как $D(y) = (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $y = \frac{1}{x-7}$.