Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Найдите значения $x$, при которых $g(x) = 0$, если:

а) $g(x) = x(x + 4);$

б) $g(x) = \frac{x + 1}{5 - x}.$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, приравняем данную функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$x(x + 4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, получаем два возможных случая:

1) $x = 0$

2) $x + 4 = 0$

Решая второе уравнение, находим:

$x = -4$

Следовательно, функция $g(x)$ обращается в ноль при $x=0$ и $x=-4$.

Ответ: 0; -4.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, приравняем данную функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$\frac{x + 1}{5 - x} = 0$

Дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x + 1 = 0 \\ 5 - x \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы находим корень:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию (области допустимых значений):

$5 - x \neq 0 \implies x \neq 5$

Поскольку найденное значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x \neq 5$, оно является решением исходного уравнения.

Ответ: -1.

7. Существует ли значение x, при котором значение функции, заданной формулой $ \varphi(x) = \frac{4}{6+x} $, равно:

а) 1;

б) -0,5;

в) 0?

В случае утвердительного ответа укажите это значение.

Чтобы определить, существует ли значение x, при котором функция φ(x) = 4 / (6 + x) принимает заданные значения, необходимо для каждого случая решить уравнение, подставив в него заданное значение функции.
Область определения данной функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть 6 + x ≠ 0, что означает x ≠ -6.

а) Проверим, может ли значение функции быть равным 1. Для этого решим уравнение:
$ \frac{4}{6 + x} = 1 $
Так как x ≠ -6, мы можем умножить обе части уравнения на (6 + x):
$ 4 = 1 \cdot (6 + x) $
$ 4 = 6 + x $
$ x = 4 - 6 $
$ x = -2 $
Полученное значение x = -2 не противоречит области определения функции.
Ответ: да, существует, при x = -2.

б) Проверим, может ли значение функции быть равным -0,5. Решим уравнение:
$ \frac{4}{6 + x} = -0,5 $
Представим -0,5 в виде обыкновенной дроби -1/2:
$ \frac{4}{6 + x} = -\frac{1}{2} $
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:
$ 4 \cdot 2 = -1 \cdot (6 + x) $
$ 8 = -6 - x $
$ x = -6 - 8 $
$ x = -14 $
Полученное значение x = -14 не противоречит области определения функции.
Ответ: да, существует, при x = -14.

в) Проверим, может ли значение функции быть равным 0. Решим уравнение:
$ \frac{4}{6 + x} = 0 $
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Числитель данной дроби равен 4, что не является нулем. Следовательно, данное уравнение не имеет решений, и значение функции никогда не может быть равным нулю.
Ответ: нет, не существует.

8. Найдите значение $x$, при котором функция, заданная формулой $f(x) = 0.5x - 4$, принимает значение, равное:

а) -5;

б) 0;

в) 2,5.

Для решения задачи необходимо найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ будет равно заданным числам. Для этого нужно подставить указанные значения вместо $f(x)$ в формулу функции $f(x) = 0.5x - 4$ и решить полученные линейные уравнения относительно $x$.

а) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = -5$.

Составим уравнение, подставив $-5$ вместо $f(x)$:

$0.5x - 4 = -5$

Чтобы решить уравнение, сначала перенесем слагаемое $-4$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$0.5x = -5 + 4$

$0.5x = -1$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0.5$:

$x = \frac{-1}{0.5}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

б) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 0$.

Составим уравнение, подставив $0$ вместо $f(x)$:

$0.5x - 4 = 0$

Перенесем слагаемое $-4$ в правую часть:

$0.5x = 4$

Разделим обе части уравнения на $0.5$:

$x = \frac{4}{0.5}$

$x = 8$

Ответ: $8$.

в) Найдем значение $x$, при котором $f(x) = 2.5$.

Составим уравнение, подставив $2.5$ вместо $f(x)$:

$0.5x - 4 = 2.5$

Перенесем слагаемое $-4$ в правую часть:

$0.5x = 2.5 + 4$

$0.5x = 6.5$

Разделим обе части уравнения на $0.5$:

$x = \frac{6.5}{0.5}$

$x = 13$

Ответ: $13$.

9. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = 4x - 8$;

б) $y = x^2 - 5x + 1$;

в) $y = \frac{2x}{5 - x}$;

г) $y = \frac{3}{(x - 4)(x + 1)}$;

д) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

е) $y = \sqrt{x - 5}$.

а) Функция $y = 4x - 8$ является линейной. Линейные функции, как и все многочлены, определены для любых действительных значений аргумента $x$, так как для вычисления значения функции выполняются только операции умножения и вычитания, которые определены для всех действительных чисел. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = x^2 - 5x + 1$ является квадратичной (многочлен второй степени). Как и любая полиномиальная функция, она определена для всех действительных значений $x$. Нет операций, которые могли бы привести к неопределенности (деление на ноль, извлечение корня из отрицательного числа).

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{2x}{5-x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции ограничена условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $5 - x = 0$, откуда $x = 5$. Следовательно, функция не определена в точке $x = 5$. Область определения — все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \neq 5$, или $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $(x - 4)(x + 1) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда $x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$, что дает $x = 4$ или $x = -1$. Таким образом, функция не определена в точках $x = 4$ и $x = -1$. Область определения — все действительные числа, кроме -1 и 4.

Ответ: $x \neq -1$ и $x \neq 4$, или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{1}{x^2+1}$ является дробно-рациональной. Проверим, может ли знаменатель быть равен нулю, решив уравнение $x^2 + 1 = 0$. Отсюда $x^2 = -1$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$). Знаменатель никогда не обращается в ноль. Поэтому ограничений на область определения нет.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) Функция $y = \sqrt{x-5}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным. Решим неравенство: $x - 5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$. Область определения функции — это все действительные числа, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \ge 5$, или $x \in [5; +\infty)$.

10. Приведите пример функции, область определения которой:

а) множество всех чисел;

б) множество всех чисел, кроме 7.

а) множество всех чисел;
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена. Чтобы функция была определена для всех действительных чисел, в ее формуле не должно быть операций, накладывающих ограничения. К таким операциям относятся, например, деление на выражение, которое может обратиться в ноль, или извлечение корня четной степени из отрицательного числа.
Самыми простыми примерами функций, область определения которых — все числа, являются многочлены (линейные, квадратичные и т.д.).
Рассмотрим линейную функцию $y = 2x + 1$. Для любого действительного значения $x$ мы можем выполнить операции умножения на 2 и сложения с 1, и всегда получим определенное числовое значение $y$. Ограничений на $x$ нет.
Таким образом, область определения этой функции — множество всех чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: $y = 2x + 1$ (или любая другая полиномиальная функция, например, $y = x^2$ или $y = 10$).

б) множество всех чисел, кроме 7.
Чтобы исключить из области определения одно конкретное число, в данном случае 7, нужно создать условие, при котором вычисление функции становится невозможным именно при $x=7$. Самый распространенный способ — использовать деление, где знаменатель обращается в ноль в этой точке.
Составим выражение, которое равно нулю при $x=7$. Таким выражением является $x - 7$.
Теперь поместим это выражение в знаменатель дроби. В числитель можно поставить любое число, не равное нулю, или выражение, которое определено при $x=7$.
Возьмем функцию $y = \frac{1}{x-7}$.
Эта функция определена тогда и только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю:
$x - 7 \neq 0$
$x \neq 7$
Следовательно, область определения этой функции — это множество всех действительных чисел, кроме числа 7. Это можно записать как $D(y) = (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $y = \frac{1}{x-7}$.

11. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = x^2 + 2x$;

б) $y = \frac{x-1}{1+x}$;

в) $y = \sqrt{9+x}$?

Область определения функции (или домен) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена, то есть ее значение $y$ может быть вычислено.

а) $y = x^2 + 2x$

Данная функция является многочленом (в частности, квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 2x$ имеет смысл при любых действительных значениях $x$, так как в нем нет операций деления на переменную или извлечения корня четной степени из выражения, содержащего переменную. Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ не накладывается.

Ответ: Область определения — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \frac{x-1}{1+x}$

Эта функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его из области определения.

$1 + x = 0$

$x = -1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{9+x}$

Данная функция содержит арифметический квадратный корень. Выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Составим и решим соответствующее неравенство:

$9 + x \ge 0$

Перенесем 9 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge -9$

Следовательно, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -9.

Ответ: $D(y) = [-9; +\infty)$.

12. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через $t$ с. Глубина спуска $h$ м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости $30^{\circ}$. Выразите формулой зависимость $h$ от $t$, если скорость движения эскалатора равна $0,75$ м/с. Найдите:

a) $h$, если $t = 2,25$ мин;

б) $t$, если $h = 60$ м.

Для начала выведем формулу, связывающую глубину спуска $h$ и время спуска $t$.

Движение эскалатора, глубина спуска и горизонтальная проекция образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Длина пути, пройденного пассажиром по эскалатору ($L$), является гипотенузой.
• Глубина спуска ($h$) является катетом, противолежащим углу наклона эскалатора.
• Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости равен $30^\circ$.

Длина пути $L$, пройденного по эскалатору, связана со скоростью эскалатора $v$ и временем $t$ формулой:

$L = v \cdot t$

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что:

$\sin(30^\circ) = \frac{h}{L}$

Отсюда можно выразить глубину спуска $h$:

$h = L \cdot \sin(30^\circ)$

Теперь подставим выражение для $L$ в эту формулу:

$h = (v \cdot t) \cdot \sin(30^\circ)$

Подставим известные значения: скорость $v = 0,75$ м/с и $\sin(30^\circ) = 0,5$.

$h = (0,75 \cdot t) \cdot 0,5$

$h = 0,375t$

Это и есть искомая формула зависимости $h$ от $t$, где $t$ измеряется в секундах, а $h$ — в метрах.

a) Найти $h$, если $t = 2,25$ мин.

Сначала переведем время из минут в секунды, так как скорость дана в м/с:

$t = 2,25 \text{ мин} = 2,25 \cdot 60 \text{ с} = 135 \text{ с}$

Теперь подставим значение времени в нашу формулу:

$h = 0,375 \cdot 135$

$h = 50,625 \text{ м}$

Ответ: $h = 50,625$ м.

б) Найти $t$, если $h = 60$ м.

Воспользуемся выведенной формулой $h = 0,375t$ и выразим из нее время $t$:

$t = \frac{h}{0,375}$

Подставим известное значение глубины $h = 60$ м:

$t = \frac{60}{0,375}$

$t = 160 \text{ с}$

Можно также перевести секунды в минуты и секунды: $160 \text{ с} = 2 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Ответ: $t = 160$ с (или 2 минуты 40 секунд).

13. Дальность полёта $s$ м снаряда (без учёта сопротивления воздуха), выпущенного из орудия под углом $45^\circ$ к горизонту, зависит только от начальной скорости снаряда $v_0$ м/с и может быть найдена по формуле $s = \frac{v_0^2}{g}$ ($g \approx 10 \text{ м/с}^2$). Найдите:

a) $s$, если $v_0 = 600 \text{ м/с}$;

б) $v_0$, если $s = 24 \text{ км}$.

Для решения задачи используется формула для определения дальности полёта $s$ снаряда, выпущенного под углом 45° к горизонту:

$s = \frac{v_0^2}{g}$

В этой формуле $v_0$ — это начальная скорость снаряда (в м/с), а $g$ — ускорение свободного падения, которое по условию задачи принимается равным $10 \text{ м/с}^2$.

а)

По условию этого пункта, начальная скорость снаряда составляет $v_0 = 600 \text{ м/с}$. Необходимо найти дальность полёта $s$.

Подставим известные значения $v_0$ и $g$ в формулу:

$s = \frac{(600)^2}{10} = \frac{360000}{10} = 36000 \text{ м}$

Полученное значение дальности полёта равно 36000 метрам. Для удобства можно перевести это расстояние в километры, учитывая, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$:

$s = 36000 \text{ м} = 36 \text{ км}$

Ответ: $s = 36 \text{ км}$.

б)

По условию этого пункта, дальность полёта снаряда составляет $s = 24 \text{ км}$. Необходимо найти начальную скорость $v_0$.

Прежде всего, для корректного расчёта по формуле необходимо привести все величины к согласованным единицам измерения (система СИ). Переведём дальность полёта из километров в метры:

$s = 24 \text{ км} = 24 \times 1000 \text{ м} = 24000 \text{ м}$

Далее, выразим искомую скорость $v_0$ из основной формулы $s = \frac{v_0^2}{g}$.

Сначала умножим обе части уравнения на $g$:

$v_0^2 = s \cdot g$

Затем извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $v_0$:

$v_0 = \sqrt{s \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения для $s$ и $g$ в полученное выражение:

$v_0 = \sqrt{24000 \cdot 10} = \sqrt{240000} \text{ м/с}$

Для упрощения результата, вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{240000} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot 10000} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10000} \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 100 \cdot \sqrt{6} = 200\sqrt{6}$

Следовательно, начальная скорость снаряда равна $200\sqrt{6} \text{ м/с}$.

Ответ: $v_0 = 200\sqrt{6} \text{ м/с}$.

14. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{|x+1|+4}$;

б) $y = \frac{48}{|x|-2}$;

в) $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$;

г) $y = \sqrt{|2-x|-3x}$.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) $y = \frac{5}{|x+1|+4}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Основное ограничение для дроби — знаменатель не должен быть равен нулю.

Запишем это условие: $|x+1|+4 \neq 0$.

Выражение $|x+1|$ — это модуль, который по определению всегда неотрицателен, то есть $|x+1| \ge 0$ для любого действительного значения $x$.

Следовательно, знаменатель дроби $|x+1|+4$ всегда будет больше или равен $0+4=4$.

Поскольку знаменатель всегда положителен (больше или равен 4), он никогда не может быть равен нулю. Таким образом, ограничений на значения $x$ нет.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \frac{48}{|x|-2}$

Эта функция также является дробью, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

Запишем условие: $|x|-2 \neq 0$.

Решим это неравенство:

$|x| \neq 2$

Это уравнение означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $2$ и $-2$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) $y = x^2 + \sqrt{|x|-1}$

Эта функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Слагаемое $x^2$ определено для всех действительных чисел и не накладывает ограничений.

Запишем условие для подкоренного выражения: $|x|-1 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$|x| \ge 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Следовательно, функция определена для всех $x$, которые меньше или равны $-1$, а также для всех $x$, которые больше или равны $1$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{|2-x|} - 3x$

В этой функции также есть квадратный корень. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Слагаемое $-3x$ определено для всех действительных чисел и не вносит ограничений.

Запишем условие: $|2-x| \ge 0$.

По определению, модуль любого числа (или выражения) всегда является неотрицательной величиной. То есть, $|2-x|$ всегда больше или равно нулю при любом действительном значении $x$.

Таким образом, никаких ограничений на значения $x$ данное условие не накладывает.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.