Номер 28, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Зависимость расстояния s (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения t (ч) задана следующим образом:

$s = \begin{cases} 15t, & \text{если } 0 \le t < \frac{7}{6}, \\ 17,5, & \text{если } \frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}, \\ -12t + 35,5, & \text{если } \frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}. \end{cases}$

Найдите $s(0)$; $s(1)$; $s(1,4)$; $s(2)$. Постройте график функции $s = f(t)$ (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Зависимость расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч) задана кусочной функцией:

$s(t) = \begin{cases} 15t, & \text{если } 0 \le t < \frac{7}{6} \\ 17,5, & \text{если } \frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2} \\ -12t + 35,5, & \text{если } \frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2} \end{cases}$

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2).

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, какому временному интервалу принадлежит каждая точка, и использовать соответствующую формулу.

• Для $t=0$: значение $t=0$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$.
  Следовательно, $s(0) = 15 \cdot 0 = 0$ км.

• Для $t=1$: значение $t=1$ также принадлежит первому интервалу, так как $1 < \frac{7}{6} \approx 1,17$.
  Следовательно, $s(1) = 15 \cdot 1 = 15$ км.

• Для $t=1,4$: сравним $t=1,4$ с границами интервалов. $\frac{7}{6} \approx 1,17$ и $\frac{3}{2} = 1,5$. Так как $1,17 \le 1,4 \le 1,5$, значение $t=1,4$ принадлежит второму интервалу.
  Следовательно, $s(1,4) = 17,5$ км.

• Для $t=2$: сравним $t=2$ с границами интервалов. $\frac{3}{2} = 1,5$ и $\frac{5}{2} = 2,5$. Так как $1,5 < 2 \le 2,5$, значение $t=2$ принадлежит третьему интервалу.
  Следовательно, $s(2) = -12 \cdot 2 + 35,5 = -24 + 35,5 = 11,5$ км.

Ответ: $s(0) = 0$ км; $s(1) = 15$ км; $s(1,4) = 17,5$ км; $s(2) = 11,5$ км.

Постройте график функции s = f(t) (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки).

График функции состоит из трех участков:

1. На интервале $t \in [0; \frac{7}{6})$ график представляет собой отрезок прямой $s = 15t$. Найдем координаты его конечных точек:
   При $t=0$, $s = 15 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
   При $t=\frac{7}{6}$, $s = 15 \cdot \frac{7}{6} = \frac{35}{2} = 17,5$. Точка $(\frac{7}{6}; 17,5)$.

2. На интервале $t \in [\frac{7}{6}; \frac{3}{2}]$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $s=17,5$. Он соединяет точки $(\frac{7}{6}; 17,5)$ и $(\frac{3}{2}; 17,5)$.

3. На интервале $t \in (\frac{3}{2}; \frac{5}{2}]$ график представляет собой отрезок прямой $s = -12t + 35,5$. Найдем координаты его конечных точек:
   При $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s = -12 \cdot 1,5 + 35,5 = -18 + 35,5 = 17,5$. Точка $(1,5; 17,5)$.
   При $t=\frac{5}{2}=2,5$, $s = -12 \cdot 2,5 + 35,5 = -30 + 35,5 = 5,5$. Точка $(2,5; 5,5)$.

Так как значения функции в точках "стыковки" интервалов совпадают ($s(\frac{7}{6}) = 17,5$ и $s(\frac{3}{2}) = 17,5$), график является непрерывной линией.

Ответ:

Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Анализируя график зависимости расстояния от времени $s(t)$, можно описать движение велосипедиста по этапам.

• Участок 1 ($0 \le t < \frac{7}{6}$ ч): График — прямая $s=15t$, выходящая из начала координат. Это означает, что велосипедист движется от турбазы с постоянной скоростью. Скорость равна угловому коэффициенту, то есть $v_1 = 15$ км/ч. Этот этап длился $\frac{7}{6}$ часа, что составляет 1 час и 10 минут. За это время велосипедист отъехал на расстояние $s(\frac{7}{6}) = 17,5$ км.

• Участок 2 ($\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$ ч): График — горизонтальная прямая $s=17,5$. Это означает, что расстояние от турбазы не менялось, то есть велосипедист стоял на месте. Продолжительность остановки составила $\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9-7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ часа, что равно 20 минутам.

• Участок 3 ($\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$ ч): График — прямая $s=-12t+35,5$ с отрицательным наклоном. Это означает, что расстояние от турбазы уменьшалось, то есть велосипедист двигался обратно к турбазе. Его скорость была постоянной и равной модулю углового коэффициента: $v_2 = |-12| = 12$ км/ч. Этот этап длился $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$ час. В конце этого этапа, в момент времени $t=2,5$ ч, велосипедист находился на расстоянии $s(2,5) = 5,5$ км от турбазы.

Ответ: Сначала велосипедист 1 час 10 минут ехал от турбазы с постоянной скоростью 15 км/ч и проехал 17,5 км. Затем он сделал остановку на 20 минут. После остановки он поехал обратно в сторону турбазы со скоростью 12 км/ч и ехал в течение 1 часа. В конце наблюдения (через 2,5 часа после выезда) он находился на расстоянии 5,5 км от турбазы.