Номер 35, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. (Для работы в парах.) На рисунке 19 изображён график функции $y = f(x)$, где $-7 \le x \le 5$. Укажите:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых она убывает;

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.

3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.

Рис. 19

а) нули функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. На графике это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.
Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.
Ответ: нули функции: -5, -1, 2, 4.

б) промежутки, в которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на следующих промежутках: от $x = -7$ до $x = -5$ (включая $-7$, т.к. $f(-7) > 0$); от $x = -1$ до $x = 2$; от $x = 4$ до $x = 5$ (включая $5$, т.к. $f(5) > 0$).
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках: от $x = -5$ до $x = -1$; от $x = 2$ до $x = 4$.
Ответ: функция положительна на промежутках $[-7; -5) \cup (-1; 2) \cup (4; 5]$; функция отрицательна на промежутках $(-5; -1) \cup (2; 4)$.

в) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых она убывает;

Функция возрастает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх, если смотреть слева направо).
Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз).
Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), называются точками экстремума. На данном графике это точки с абсциссами $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$.
Промежутки возрастания: от локального минимума при $x = -4$ до локального максимума при $x = 0$, и от локального минимума при $x = 3$ до конца отрезка при $x = 5$.
Промежутки убывания: от начала отрезка при $x = -7$ до локального минимума при $x = -4$, и от локального максимума при $x = 0$ до локального минимума при $x = 3$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-7; -4]$ и $[0; 3]$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее значение функции – это максимальное значение $y$ на всей области определения $[-7; 5]$. Наименьшее значение – это минимальное значение $y$ на этой же области.
Для их нахождения нужно найти значения функции в точках локальных максимумов и минимумов (точки экстремума) и на концах заданного отрезка, а затем выбрать из них самое большое и самое маленькое.
Значения в точках экстремума:
$f(-4) = -2$ (локальный минимум);
$f(0) = 4$ (локальный максимум);
$f(3) = -4$ (локальный минимум).
Значения на концах отрезка:
$f(-7) = 6$;
$f(5) = 2$.
Сравниваем все полученные значения: $\{6, 4, 2, -2, -4\}$.
Самое большое из этих значений равно 6. Это наибольшее значение функции, $y_{наиб.}$. Оно достигается при $x = -7$.
Самое маленькое из этих значений равно -4. Это наименьшее значение функции, $y_{наим.}$. Оно достигается при $x = 3$.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 6$; наименьшее значение функции $y_{наим.} = -4$.