Номер 42, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Укажите область определения и найдите нули функции:

а) $y = \frac{x - \sqrt{x + 6}}{x + 5}$;

б) $y = \frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10 - 6x}}$.

а) $y = \frac{x - \sqrt{x+6}}{x+5}$

Нахождение области определения:
Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+6 \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+5 \neq 0$.

Получаем систему условий:
$\begin{cases} x+6 \geq 0 \\ x+5 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -6 \\ x \neq -5 \end{cases}$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-6; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Нахождение нулей функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Приравниваем функцию к нулю:
$\frac{x - \sqrt{x+6}}{x+5} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Условие на знаменатель уже учтено в области определения.
$x - \sqrt{x+6} = 0$
$x = \sqrt{x+6}$

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. Это преобразование является равносильным только при условии, что обе части уравнения неотрицательны. Так как правая часть $\sqrt{x+6} \geq 0$, то необходимо потребовать, чтобы и левая часть была неотрицательной: $x \geq 0$.
$x^2 = (\sqrt{x+6})^2$
$x^2 = x+6$
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \geq 0$:
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \geq 0$).
$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, является посторонним корнем.

Единственный корень, удовлетворяющий всем условиям, это $x=3$. Он также принадлежит области определения функции. Следовательно, это единственный нуль функции.

Ответ: Область определения: $x \in [-6; -5) \cup (-5; +\infty)$; нули функции: $x = 3$.

б) $y = \frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10-6x}}$

Нахождение области определения:
Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $10-6x \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x - \sqrt{10-6x} \neq 0$.

Решим первое неравенство:
$10-6x \geq 0 \implies 10 \geq 6x \implies x \leq \frac{10}{6} \implies x \leq \frac{5}{3}$.

Рассмотрим второе условие. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из ОДЗ.
$2x - \sqrt{10-6x} = 0 \implies 2x = \sqrt{10-6x}$

Возводим обе части в квадрат при условии $2x \geq 0$, то есть $x \geq 0$. Совмещая с ранее найденным условием $x \leq \frac{5}{3}$, получаем, что корень (если он существует) должен лежать на отрезке $[0; \frac{5}{3}]$.
$(2x)^2 = (\sqrt{10-6x})^2$
$4x^2 = 10-6x$
$4x^2 + 6x - 10 = 0$
Разделив на 2, получим: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-3-7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-3+7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \geq 0$:
$x_1 = -\frac{5}{2}$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$x_2 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \geq 0$) и принадлежит отрезку $[0; \frac{5}{3}]$.
Следовательно, при $x=1$ знаменатель равен нулю, и это значение нужно исключить из области определения.

Объединяя условия $x \leq \frac{5}{3}$ и $x \neq 1$, получаем область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]$.

Нахождение нулей функции:
Приравниваем функцию к нулю:
$\frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10-6x}} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение:
$4x^2 + 25x = 0$
$x(4x+25) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$4x_2 + 25 = 0 \implies x_2 = -\frac{25}{4} = -6.25$.

Проверим, принадлежат ли эти значения области определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]$:
$x_1 = 0$ принадлежит интервалу $(-\infty; 1)$, следовательно, является нулем функции.
$x_2 = -6.25$ также принадлежит интервалу $(-\infty; 1)$, следовательно, является нулем функции.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]$; нули функции: $x_1=0$, $x_2 = -6.25$.