Номер 49, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

49. Используя рисунки 4 и 5, перечислите свойства функций $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$ и $y = |x|$.

$y = x^2$

Свойства функции (парабола):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0, 0)$.

$y = x^3$

Свойства функции (кубическая парабола):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: вся числовая прямая, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $(-\infty; +\infty)$, функция нечетная, возрастает на всей области определения, нуль функции при $x=0$, экстремумов нет.

$y = \sqrt{x}$

Свойства функции:

1. Область определения: все неотрицательные числа, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция общего вида (ни четная, ни нечетная), возрастает на всей области определения, точка минимума $(0, 0)$.

$y = |x|$

Свойства функции (модуль):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0, 0)$.