Номер 51, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Является ли возрастающей или убывающей функция:

а) $y = 5x + \sqrt{x}$;

б) $y = -x + \sqrt{-x}$;

в) $y = x^2 + \sqrt{x}$?

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, можно исследовать знак ее производной. Если производная положительна на всей области определения, функция возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает. Если знак производной меняется, функция не является монотонной на всей области определения.

Рассмотрим функцию $y = 5x + \sqrt{x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции для исследования на монотонность:
$y' = (5x + \sqrt{x})' = (5x)' + (x^{1/2})' = 5 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x > 0$. На этом интервале оба слагаемых в выражении для производной положительны: $5 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y' = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной ($y' > 0$).

Поскольку производная функции положительна на интервале $(0, \infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = 5x + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = 5x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Обе эти функции являются возрастающими на промежутке $[0, \infty)$. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Ответ: функция является возрастающей на всей области определения $[0, \infty)$.

Рассмотрим функцию $y = -x + \sqrt{-x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для второго слагаемого:
$y' = (-x + \sqrt{-x})' = (-x)' + ((-x)^{1/2})' = -1 + \frac{1}{2}(-x)^{-1/2} \cdot (-x)' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x < 0$. На этом интервале $-x > 0$, поэтому выражение $\frac{1}{2\sqrt{-x}}$ положительно. Тогда вся производная $y' = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$ является суммой двух отрицательных величин ($-1$ и $-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$), а значит, всегда отрицательна ($y' < 0$).

Поскольку производная функции отрицательна на интервале $(-\infty, 0)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является убывающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = -x + \sqrt{-x}$ является суммой двух функций: $f(x) = -x$ и $g(x) = \sqrt{-x}$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $f(x)=-x$ является убывающей. Функция $g(x)=\sqrt{-x}$ также является убывающей, так как при увеличении $x$ (например, от -4 к -1) значение $-x$ уменьшается (от 4 к 1), и, соответственно, $\sqrt{-x}$ тоже уменьшается. Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

Ответ: функция является убывающей на всей области определения $(-\infty, 0]$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + \sqrt{x}$.

1. Область определения. Наличие слагаемого $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 + \sqrt{x})' = (x^2)' + (x^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x > 0$. На этом интервале оба слагаемых в выражении для производной неотрицательны, а их сумма строго положительна. Для любого $x > 0$ имеем $2x > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда положительна ($y' > 0$).

Поскольку производная функции положительна на интервале $(0, \infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = x^2 + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$. На промежутке $[0, \infty)$ обе эти функции являются возрастающими. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Ответ: функция является возрастающей на всей области определения $[0, \infty)$.