Номер 54, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

54. Разложите на множители многочлен:

а) $4x - x^3$;

б) $a^4 - 169a^2$;

в) $c^3 - 8c^2 + 16c$.

а) $4x - x^3$

Для разложения многочлена на множители сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x - x^3 = x(4 - x^2)$

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: $4 - x^2$. Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a=2$ и $b=x$, поэтому получаем:

$4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Подставив это разложение обратно, получаем окончательный вид:

$x(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $x(2 - x)(2 + x)$

б) $a^4 - 169a^2$

В данном многочлене вынесем за скобки общий множитель $a^2$:

$a^4 - 169a^2 = a^2(a^2 - 169)$

Выражение в скобках $a^2 - 169$ также является разностью квадратов, поскольку $169 = 13^2$. Снова используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x=a$ и $y=13$, следовательно:

$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a - 13)(a + 13)$

Итоговое разложение многочлена на множители:

$a^2(a - 13)(a + 13)$

Ответ: $a^2(a - 13)(a + 13)$

в) $c^3 - 8c^2 + 16c$

Первым делом вынесем общий для всех членов множитель $c$ за скобки:

$c^3 - 8c^2 + 16c = c(c^2 - 8c + 16)$

Рассмотрим выражение в скобках: $c^2 - 8c + 16$. Этот трехчлен является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = c$ и $b = 4$. Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot c \cdot 4 = -8c$. Он совпадает. Значит, формула применима.

$c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$c(c - 4)^2$

Ответ: $c(c - 4)^2$