Номер 46, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = 1,5x - 3$;

б) $y = -0,6x + 5$.

а) $y = 1.5x - 3$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 1.5$ и свободный член $b = -3$. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим в уравнение $x = 0$:
$y = 1.5 \cdot 0 - 3 = -3$.
Получили первую точку A с координатами $(0, -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого подставим в уравнение $y = 0$:
$0 = 1.5x - 3$
$1.5x = 3$
$x = \frac{3}{1.5} = 2$.
Получили вторую точку B с координатами $(2, 0)$.

Проведя прямую через точки A$(0, -3)$ и B$(2, 0)$, мы получим искомый график функции.

Перечислим свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
3. Нули функции: значение $x$, при котором $y=0$. Это $x=2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.
4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ (функция положительна) при $1.5x - 3 > 0$, то есть при $x > 2$, на интервале $(2; +\infty)$.
$y < 0$ (функция отрицательна) при $1.5x - 3 < 0$, то есть при $x < 2$, на интервале $(-\infty; 2)$.
5. Монотонность: угловой коэффициент $k = 1.5 > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1.5(-x) - 3 = -1.5x - 3$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
7. Точка пересечения с осью Oy: при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0, -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=2$.
4. $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; 2)$.
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция общего вида.

б) $y = -0.6x + 5$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$, где $k = -0.6$ и $b = 5$. Графиком является прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x = 0$:
$y = -0.6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Получили первую точку C с координатами $(0, 5)$.

2. Найдем вторую точку, подставив произвольное значение $x$, например, $x = 5$:
$y = -0.6 \cdot 5 + 5 = -3 + 5 = 2$.
Получили вторую точку D с координатами $(5, 2)$.

Проведя прямую через точки C$(0, 5)$ и D$(5, 2)$, мы получим искомый график функции.

Перечислим свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: найдем $x$, при котором $y=0$:
$0 = -0.6x + 5 \implies 0.6x = 5 \implies x = \frac{5}{0.6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.
Нуль функции: $x=\frac{25}{3}$. Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{25}{3}, 0)$.
4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $-0.6x + 5 > 0$, то есть при $x < \frac{25}{3}$, на интервале $(-\infty; \frac{25}{3})$.
$y < 0$ при $-0.6x + 5 < 0$, то есть при $x > \frac{25}{3}$, на интервале $(\frac{25}{3}; +\infty)$.
5. Монотонность: угловой коэффициент $k = -0.6 < 0$, следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида, так как $y(-x) = -0.6(-x) + 5 = 0.6x + 5$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
7. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 2)$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=\frac{25}{3}$.
4. $y>0$ при $x \in (-\infty; \frac{25}{3})$, $y<0$ при $x \in (\frac{25}{3}; +\infty)$.
5. Функция убывает на всей области определения.
6. Функция общего вида.