Номер 39, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа:

а) $-3$ и $3$;

б) $-4, 0$ и $2$;

в) $-3, 2, 1$ и $5$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю, то есть $f(x)=0$. На графике это точки, в которых кривая функции пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Чтобы начертить график функции с заданными нулями, можно составить многочлен, корнями которого являются эти числа. Общий вид такого многочлена: $y = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$, где $x_1, x_2, ..., x_n$ — нули функции, а $a$ — любой ненулевой коэффициент. Для простоты мы будем использовать $a=1$.

а) нули: -3 и 3

Составим функцию, нулями которой являются числа -3 и 3. Возьмем простейший случай — многочлен второй степени (параболу):$y = (x - (-3))(x - 3) = (x+3)(x-3)$

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид уравнения параболы:$y = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Это уравнение квадратичной функции, графиком которой является парабола. Чтобы её начертить, выполним следующие шаги:

1. Отметим на оси $Ox$ точки пересечения, соответствующие нулям функции: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 9$, поэтому $a=1, b=0$.$x_v = -0/(2 \cdot 1) = 0$.Ордината вершины: $y_v = 0^2 - 9 = -9$.Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -9)$, которая также является точкой пересечения с осью $Oy$.

4. На координатной плоскости отметим точки $(-3, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, -9)$. Соединим их плавной линией, получив параболу, симметричную относительно оси $Oy$.

Ответ: Графиком является парабола, заданная, например, функцией $y = x^2 - 9$. Она пересекает ось абсцисс в точках $x=-3$ и $x=3$, ее ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -9)$.

б) нули: -4, 0 и 2

Составим функцию в виде многочлена, который обращается в ноль в точках -4, 0 и 2:$y = (x - (-4))(x - 0)(x - 2) = x(x+4)(x-2)$

Это кубическая функция. Раскрыв скобки, получим:$y = x(x^2 + 4x - 2x - 8) = x(x^2 + 2x - 8) = x^3 + 2x^2 - 8x$

Чтобы начертить график этой функции:

1. Отметим на оси $Ox$ нули функции: $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Точка $(0, 0)$ является одновременно нулем функции и точкой пересечения с осью $Oy$.

2. Определим поведение функции на бесконечности. Так как старший член $x^3$ имеет положительный коэффициент, при $x \to +\infty$ значение $y \to +\infty$ (график уходит вправо вверх), а при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$ (график приходит слева снизу).

3. Исследуем знак функции на интервалах, образованных нулями:- при $x < -4$, все три множителя $x, (x+4), (x-2)$ отрицательны, их произведение отрицательно ($y < 0$).- при $-4 < x < 0$, множитель $(x+4)$ положителен, а $x$ и $(x-2)$ отрицательны, произведение положительно ($y > 0$).- при $0 < x < 2$, множители $x$ и $(x+4)$ положительны, а $(x-2)$ отрицателен, произведение отрицательно ($y < 0$).- при $x > 2$, все три множителя положительны, произведение положительно ($y > 0$).

4. Соединим точки плавной кривой, учитывая знаки на интервалах. График будет иметь локальный максимум на интервале $(-4, 0)$ и локальный минимум на интервале $(0, 2)$.

Ответ: Графиком является кубическая функция, например, $y = x^3 + 2x^2 - 8x$. Она пересекает ось абсцисс в точках $x=-4$, $x=0$ и $x=2$. График проходит через начало координат, имеет локальный максимум на интервале $(-4, 0)$ и локальный минимум на интервале $(0, 2)$.

в) нули: -3, 2, 1 и 5

Составим многочлен с корнями -3, 1, 2 и 5:$y = (x - (-3))(x - 1)(x - 2)(x - 5) = (x+3)(x-1)(x-2)(x-5)$

Это полиномиальная функция четвертой степени. Старший член будет $x^4$, его коэффициент положителен. Это означает, что оба конца графика направлены вверх (при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$). График будет иметь W-образную форму.

Чтобы начертить график:

1. Отметим на оси $Ox$ нули функции: $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(5, 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$:$y(0) = (0+3)(0-1)(0-2)(0-5) = 3 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot (-5) = -30$.Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -30)$.

3. Определим знаки функции на интервалах между нулями, чтобы понять, где график находится выше или ниже оси $Ox$.- на $(-\infty, -3)$, $y > 0$.- на $(-3, 1)$, $y < 0$.- на $(1, 2)$, $y > 0$.- на $(2, 5)$, $y < 0$.- на $(5, +\infty)$, $y > 0$.

4. Соединим точки плавной кривой, которая приходит сверху слева, последовательно пересекает ось $Ox$ в указанных точках, проходит через точку $(0, -30)$ и уходит вверх вправо.

Ответ: Графиком является полиномиальная функция четвертой степени, например, $y = (x+3)(x-1)(x-2)(x-5)$. График имеет W-образную форму, пересекает ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$, $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(5, 0)$, а ось $Oy$ в точке $(0, -30)$.