Номер 38, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Начертите график какой-либо функции с областью определения $[-3; 4]$ так, чтобы эта функция:

а) возрастала в промежутке $[-3; 0]$ и убывала в промежутке $[0; 4];

б) убывала в промежутке $[-3; 1]$ и возрастала в промежутке $[1; 4].

а) Требуется начертить график функции с областью определения $D(f) = [-3; 4]$, которая возрастает на промежутке $[-3; 0]$ и убывает на промежутке $[0; 4]$.

Анализ условий:

1. График функции должен быть определён только для значений $x$ от -3 до 4 включительно.
2. Возрастание на $[-3; 0]$ означает, что при движении по оси $x$ слева направо от -3 до 0, график должен идти вверх.
3. Убывание на $[0; 4]$ означает, что при движении по оси $x$ от 0 до 4, график должен идти вниз.

Из этих условий следует, что в точке $x=0$ функция меняет характер монотонности с возрастания на убывание, следовательно, в этой точке находится локальный максимум.

Построение графика:

1. Выберем произвольные значения функции в ключевых точках, удовлетворяющие условиям. Например:
   • В начальной точке $x=-3$ пусть значение функции будет $f(-3) = -1$.
   • В точке максимума $x=0$ значение должно быть больше, например, $f(0) = 2$.
   • В конечной точке $x=4$ значение должно быть меньше, чем в максимуме, например, $f(4) = -2$.
2. Отметим на координатной плоскости точки $(-3, -1)$, $(0, 2)$ и $(4, -2)$.
3. Соединим точку $(-3, -1)$ с точкой $(0, 2)$ плавной линией, идущей вверх.
4. Соединим точку $(0, 2)$ с точкой $(4, -2)$ плавной линией, идущей вниз.

В качестве примера такой функции можно взять параболу $y = -0.5x^2 + 2$, рассматриваемую на отрезке $[-3; 4]$.

Ответ: График функции представляет собой кривую линию, которая начинается в точке с абсциссой $x=-3$, поднимается до своей высшей точки (локального максимума) при $x=0$, а затем опускается до точки с абсциссой $x=4$.

б) Требуется начертить график функции с областью определения $D(f) = [-3; 4]$, которая убывает на промежутке $[-3; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 4]$.

Анализ условий:

1. График функции должен быть определён только для значений $x$ от -3 до 4 включительно.
2. Убывание на $[-3; 1]$ означает, что при движении по оси $x$ слева направо от -3 до 1, график должен идти вниз.
3. Возрастание на $[1; 4]$ означает, что при движении по оси $x$ от 1 до 4, график должен идти вверх.

Из этих условий следует, что в точке $x=1$ функция меняет характер монотонности с убывания на возрастание, следовательно, в этой точке находится локальный минимум.

Построение графика:

1. Выберем произвольные значения функции в ключевых точках, удовлетворяющие условиям. Например:
   • В начальной точке $x=-3$ пусть значение функции будет $f(-3) = 4$.
   • В точке минимума $x=1$ значение должно быть меньше, например, $f(1) = -1$.
   • В конечной точке $x=4$ значение должно быть больше, чем в минимуме, например, $f(4) = 2$.
2. Отметим на координатной плоскости точки $(-3, 4)$, $(1, -1)$ и $(4, 2)$.
3. Соединим точку $(-3, 4)$ с точкой $(1, -1)$ плавной линией, идущей вниз.
4. Соединим точку $(1, -1)$ с точкой $(4, 2)$ плавной линией, идущей вверх.

В качестве примера такой функции можно взять параболу $y = (x-1)^2 - 1$, рассматриваемую на отрезке $[-3; 4]$.

Ответ: График функции представляет собой кривую линию, которая начинается в точке с абсциссой $x=-3$, опускается до своей низшей точки (локального минимума) при $x=1$, а затем поднимается до точки с абсциссой $x=4$.