Номер 37, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. На рисунке 21 изображён график функции $y = g(x)$, где $-10 \leq x \leq 10$. Сколько нулей имеет функция? Укажите:

а) промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения;

б) промежутки, в которых функция убывает.

Рис. 21

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $g(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$).
По графику видно, что функция пересекает ось $Ox$ в четырех точках, абсциссы которых равны -8, -3, 4 и 8.
Следовательно, функция имеет 4 нуля.
Ответ: 4.

а) Функция принимает отрицательные значения на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси абсцисс, то есть $g(x) < 0$.
Из графика видно, что это происходит на следующих промежутках:
1. от левой границы области определения $x = -10$ до первого нуля $x = -8$;
2. между нулями $x = -3$ и $x = 4$;
3. от нуля $x = 8$ до правой границы области определения $x = 10$.
Учитывая, что область определения функции задана как $[-10; 10]$, промежутки, где функция отрицательна, будут: $[-10; -8)$, $(-3; 4)$ и $(8; 10]$.
Ответ: $[-10; -8) \cup (-3; 4) \cup (8; 10]$.

б) Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз при движении по оси $x$ слева направо. Это происходит на участках от точек локального максимума до точек локального минимума.
Найдем на графике точки экстремума (максимумы и минимумы):
- Первая точка максимума имеет абсциссу $x = -5.5$.
- Точка минимума имеет абсциссу $x = 1$.
- Вторая точка максимума имеет абсциссу $x = 6$.
Функция убывает от первого максимума до минимума, а также от второго максимума до конца области определения. Таким образом, промежутки убывания:
1. от $x = -5.5$ до $x = 1$;
2. от $x = 6$ до $x = 10$.
Ответ: $[-5.5; 1] \cup [6; 10]$.